Ключевые задачи по теме «Касательная к графику функции» Ключевая задача 1. Напишите уравнение касательной к графику функции когда касательная проходит через точку, лежащую на кривой. Пусть у = хІ–2х–3 и касательнаяпроходит через точку с абсциссойравной 2.Решение. 1). Обозначим абсциссу точки касания через а, тогда а=2. 2). Найдем f(a): f(a)=2·2–2·2–3 => f(a)=-3.3). Найдем fґ(x) и fґ(а): fґ(x)=2х-2 => fґ(а)=2·2–2 = 24). Подставим найденные числа а, f(a) и fґ(а) в общее уравнение касательной у = f(a) + fґ(а)(х-а)и получим: у = -3 +2(х-2) = -3+2х-4 = 2х-7Значит уравнение искомой касательной имеет вид у=2х-7 Самостоятельно составьте уравнение касательной к графику функции у = 3х⁴ + 6хІ – 2 в точке с абсциссой х₀ =1 Ответ: у=24х–172) у = хІ — 3х +5 в точке с абсциссой а = -1 Ответ: Напишите уравнение касательной к графику функции у = хі+2х+5 в точке с ординатой у₀=8 Решение. Абсцисса точки касания (х₀) находится по её ординате (т.е. данное у₀ подставляют в формулу функции и вычисляют х₀). Ответ: у=5х+3 Работая в парах составьте уравнение касательной к графику функции в точке с ординатой у₀ = -2 Ответ: у = 5х — 17 Напишите уравнение касательной к графику функции в точке пересечения его с осьюординат.Решение. Абсцисса точки касания находится изусловия пересечения графикафункции с осью ОУ т.е. в этой точке х=0. Ответ: у=2х+2 Напишите уравнение касательной к графику функции в точке пересечения его с осью абсцисс.Решение (указания). В этом случае абсцисса точки касания (х₀) находится из условия пересечения графика функции с осью ОХ . Т.е. в этой точке у=0 Самостоятельно, работая в парах, составьте уравнение касательной к графику функции в точке пересечения его с осьюординат Ответ: Ключевая задача 2, когда касательная проходит через точку, не лежащую графику функции. Напишите уравнение всехкасательных к графику функции у = хІ+4х+6 проходящих через точку М(-3;-1).Решение. 1). Проверим, принадлежит ли точка М(-3;-1) графику функции у(-3) = (-3)І +4(-3)+6=9-12+6=3, т.е. точка М(-3;-1) не является точкой касания. 2). Пусть а – абсцисса точки касания.3). Найдем f(a): f(a) = aІ+4a+6. 4). Найдем fґ(x) и fґ(а): fґ(x) =2x+4, fґ(а) =2a+4. 5). Подставим числа а, f(a), и fґ(а) в общее уравнение касательной у= f(a)+fґ(а)(x-a): получим y=aІ+4a+6+(2a+4)(x–a) – уравнение касательной. Касательная проходит через точку М(-3;-1), следовательно, ее координатыудовлетворяют уравнению касательной: 1 = aІ + 4a + 6 + (2a+4)(-3–a) => aІ+6a+5=0, значит a=-5 или a=-1.Если a=-5, то (подставляем в нашесоставленное уравнение касательнойy=aІ+4a+6+(2a+4)(x–a)) и получим y= (-5)І +4(-5)+6+(2(-5)+4)(х-(-5)) => y=-16x–19 – уравнение искомой касательной. Если a=-1, то (подставляем в нашесоставленное уравнение касательной y=aІ+4a+6+(2a+4)(x–a)) и получим y=(-1)І +4(-1)+6+(2(-1)+4)(x+1), => y=2x+5 – уравнение искомой касательной. Ответ: y=-16x–19, y=2x+5. Работая в парах, составьте уравнение касательной к графику функции у= — хІ–4х+2, проходящей через точку М(-3;6) Ответ: у=4х+18 у=6 Ключевая задача 3. Напишите уравнение касательной к графику функции когда касательная параллельна данной прямой. Напишите уравнения всех касательных к графику функции у = хІ–2х–8, параллельных прямой у=-4х–4.Решение. 1. Обозначим абсциссу точки касания-а.2. Запишем f(a): f(a) = aІ–2a–8. 3. Найдем fґ(x) и fґ(а): fґ(x)=2x–2, fґ(а) =2a–2.Но, с другой стороны, fґ(а)=-4 (по условию параллельности к₁=к₂, где к₁= fґ(а), а к₂=-4). Решим уравнение2a–2=-4,и получим a=-1. Тогда вычислим f(a), и fґ(а): f(a)=(-1)І–2(-1)-8=1+2-8=-5, т.е. f(a)=-5, а fґ(а) =-4. Подставим найденные числа а, f(a), fґ(а) вобщее уравнение касательной у=f(a)+fґ(а)(x-а) y= -5–4(x+1)=-4x–9 уравнение искомой касательной. Самостоятельно составьте уравнение касательной к графику функции f(x), параллельной графику функции g(x). если f(x) = xі — 2x + 7, a g(x) = x Ответ: у = х + 9; у = х + 52) если f(x) = xі — 3xІ + 3, a g(x) = 9x+1 Ответ: у = 9х + 8; у = 9х – 24 Работая в парах, составьте уравнение касательной к графику функции f(x), параллельной графику функции g(x). Если , g(x)=-3x Ответ: y=-3x–6 Ключевая задача 4. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x), перпендикулярной заданной прямой g(x). Напишите уравнения всехкасательных к графику функции у = xі-2x+1, перпендикулярной прямой x+y =0.Решение. (Учитываем условие перпендикулярности прямых к₁·к₂=1. Значит к₁ =1/к₂ ) Т.к. у = -х, то к₂=-1. Найдем к₁, который равен fґ(а). 1).Обозначим абсциссу точки касания а.2). Найдем f(a): f(a)=aі–2a+1. 3). Найдем fґ(x) и fґ(а): fґ(x)=3xІ–2, fґ(а) =3aІ–2 = к₁4). Составим уравнение (по условию перпендикулярности прямых) 3aІ–2= 1/-1значит 3aІ–2= -1 => 3aІ=1 => aІ=1/3 => а= ± √1/3 Пусть а= +√(1/3), тогда найдем f(a) и fґ(а) т.к. f(a)=aі–2a+1 и fґ(а) =3aІ–2, то f(a)=(√(1/3))і -2· √(1/3)+1= 1/3· √(1/3) -2· ·√(1/3)+1 = …fґ(а) =3 · (√(1/3))І-2=…Подставим найденные числа а, f(a), fґ(а)в общее уравнение касательной у=f(a)+ fґ(а)(x-a): … Пусть а= -√(1/3), тогда найдем f(a) и fґ(а) т.к. f(a)=aі–2a+1 и fґ(а) =3aІ–2, то f(a)=(-√(1/3))і -2·(- √(1/3))+1=….fґ(а) =3 · (-√(1/3))І-2=….Подставим найденные числа а, f(a), fґ(а)в общее уравнение касательной у=f(a)+ fґ(а)(x-a): …… Ответ: y=x–1 y=x+3 Работая в парах, составьте уравнение касательной к графику функции f(x), перпендикулярной заданной прямой g(x) Если и g(x)=x Ответ: y= — x–1; y= -x+7