Открытая олимпиада школьников
«Интеллектуальный марафон»2012-2013гг.
Математика. 9 класс.
1 часть.
Решения заданий записывать. (За каждое задание 5 баллов, всего 50 баллов).
1. Укажите, какие из перечисленных ниже утверждений верны:
1) В параллелограмме противолежащие углы равны.
2) Вокруг любого прямоугольника можно описать окружность.
3) В любом параллелограмме диагонали перпендикулярны.
4) Квадрат – это ромб, у которого все углы прямые.
5) В любой четырехугольник можно вписать окружность.
2. Упростите выражение 
3. Постройте график уравнения 
. В ответе укажите площадь 
где точка О – начало координат, а точки А и В – точки пересечения данной прямой с осями координат.
4. Укажите график функции, заданной формулой 
5. При каких значениях 
множество значений функции 
6. Найдите область определения функции 
7. В уравнении 
выразите переменную х через у.
8. Если одну сторону прямоугольника увеличить на 40%, а смежную сторону уменьшить на 30%, то как изменится площадь прямоугольника?
1) увеличится на 10%; 2) уменьшится на 10 %; 3) увеличится на 5%; 4) уменьшится на 2%.
9. По данным рисунка найдите площадь заштрихованной фигуры (NK, KL, LM , MN — дуги с центрами в вершинах А, В, C и D квадрата ABCD; взять 
, ответ округлить до сотых). 
10. В прямоугольном треугольнике АВС на катете АВ как на диаметре, построена окружность, разбивающая гипотенузу на части в отношении 3:2, считая от вершины С. Найти площадь треугольника АВС, если его гипотенуза равна 10 (
).
2 часть.
Задание 1. (15 баллов).
Найдите сумму корней уравнения
и укажите, при каких значениях a эта сумма принимает наибольшее значение.
Задание 2. (15 баллов).
Бассейн для плавания наполняется водой двумя кранами за 1 час 12 минут. Если второй кран закрыть через 1 час, то для наполнения бассейна первый кран должен быть открыт ещё в течение 20 минут. За какое время наполняется бассейн каждым краном в отдельности.
Задание 3. (20 баллов) Решите уравнение 
.
Ответы:
Часть 1.
|
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
|
1,2,4 |
|
8/9 |
2 |
-4; 4; |
|
|
уменьшится на 2%.
|
6,58 |
24,4 |
Часть 2.
Задание 1. (15 баллов).
Найдите сумму корней уравнения
и укажите, при каких значениях a эта сумма принимает наибольшее значение.
Решение
Найдем значения параметра a, при которых уравнение будет иметь действительные корни. Дискриминант квадратного уравнения должен быть неотрицательным: 
.
Найдем значение дискриминанта:
.
. Положим 
, получим систему неравенств:
Получим, 
,
При 
и 
или 
уравнение имеет действительные корни. Поскольку уравнение приведенное, то, по теореме Виета, сумма корней уравнения будет равна второму коэффициенту с противоположным знаком:
.
Рассмотрим это выражение как функцию от a и найдем ее наибольшее значение на промежутках .
Графиком функции 
является парабола с вершиной в точке 
, ветви которой направлены вниз. Она пересекает ось абсцисс в точках: 
.
Начертим схематически график этой функции на множестве и .
Очевидно, что наибольшее значение функция принимает в точке a = -3 и принимает значение 
.
Ответ: При сумма корней равна и принимает наибольшее значение при a = -3, равное 6.
Задание 2. (15 баллов).
Бассейн для плавания наполняется водой двумя кранами за 1 час 12 минут. Если второй кран закрыть через 1 час, то для наполнения бассейна первый кран должен быть открыт ещё в течение 20 минут. За какое время наполняется бассейн каждым краном в отдельности.
Решение
Пусть x час — время, за которое наполняется весь бассейн первым краном, если он открыт только один;
y час — время, за которое наполняется весь бассейн вторым краном, если он открыт только один;
1 — вся работа, т. е. наполнение всего бассейна водой;
— делает работы за 1 час первый кран, производительность первого крана;
— делает работы за 1 час второй кран, производительность второго крана;
— делают за 1 час два крана, будучи открыты вместе, совместная производительность двух кранов.
По условию, двумя кранами бассейн наполняется водой за 1 час 12 мин, т. е. за 
часа, значит, 
.
Если второй кран закрыть через 1 час, тогда вместе два крана за это время выполнят работы 
.
Первый кран, при этом должен еще работать 20 минут, т. е. 1/3 часа.
За это время он выполнит работу 
.
По условию, тогда вместе они выполнят всю работу:
.
Получим систему уравнений:
.
Подставляя это значение в первое уравнение системы, находим y:
.
Ответ: за 2 часа первый кран наполнит бассейн, работая один;
за 3 часа второй кран наполнит бассейн, работая один.
Задание 3. (20 баллов)
Решите уравнение .
Решение. Один из возможных способов решения данного уравнения является введение параметра. Пусть 
, тогда уравнение примет вид:
.
Заметим, что оно является квадратным относительно а. Перепишем его в виде: 
.
Его дискриминант равен 
.
Тогда 
; 
.
Значит исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений 
Ответ: 
.
Критерии оценивания.
Каждая работа оценивается и проверяется, не менее чем 2-мя членами жюри.
1 часть (по 5 баллов).
5 баллов ставится за верное решение;
4 балла – за верное решение с недочетом;
2-3 балла – решение в основных чертах верное, но неполное или содержит непринципиальные ошибки;
1 балл – решение в целом неверное, но содержит более или менее существенное продвижение в верном направлении;
0 баллов – решение неверное или отсутствует.
2 часть.
1 задание.
15 баллов – решение верное, даны необходимые пояснения;
10 баллов – в решении допущена техническая ошибка и решение доведено до конца;
5 баллов – идея решения верная, недостаточны пояснения или допущена техническая ошибка, и решение не доведено до конца;
0 баллов – решение неверное или отсутствует.
2 задание.
15 баллов – решение верное и приведены необходимые пояснения;
10 баллов – решение верное, но нет необходимых пояснений;
5 баллов – идея решения верная, решение доведено до конца, но есть ошибка в решении системы уравнений, влияющая на ответ или при верном решении оно не доведено до конца;
0 баллов – решение неверное или отсутствует совсем.
3 задание.
20 баллов – решение верное и приведены необходимые пояснения;
15 баллов – идея решения верная, решение доведено до конца, но допущена техническая ошибка при записи корней;
10 баллов – идея решения верная, но решение не доведено до конца (не найдены корни);
5 баллов – идея решения верная, но допущена ошибка в составлении дискриминанта или определении его знака и решение не доведено до конца;
0 баллов – решение неверное или отсутствует совсем.