Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение
Юдинская основная общеобразовательная школа
Подгоренского муниципального района
Воронежской области
«СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ»
(Факультативное занятие по математике
для учащихся 7-9 классов)
Разработал:
учитель математики
Сергиенко В.А.
с. Юдино
2012г.
ТЕМА: «Система счисления». «Перевод чисел из одной системы счисления в другую». «Арифметические операции в позиционных системах счисления».
«Система счисления».
Цели урока:
-
Образовательная: Познакомить учащихся с системой счисления. Понятие позиционной и непозиционной системы счисления. Познакомить с арифметическими выражениями в системе счисления.
-
Развивающая: Формирование представления о арифметике в системе счисления. Формирования умения мысленного упорядочения своих действий при решении задач.
-
Воспитательная: Воспитание эмоционально – положительной направленности на практическую деятельность как основной способ решения реальных проблем. Воспитание бережного отношения как к техники, так и к информации, своей и чужой.
План урока:
-
Орг. момент.
-
Изучение нового материала.
-
Итог занятия.
Краткий конспект.
(слайд 2) Учиться считать люди начали в незапамятные времена, а учителем у них была сама жизнь.
Древние люди добывали себе пищу главным образом охотой.
На крупного зверя – бизона или лося – приходилось охотиться всем племенем.
Чтобы добыча не ушла, ее надо было окружить, но вот хотя бы так: пять человек справа, семь сзади, четыре слева.
Даже в те времена, когда человек не знал таких слов, как “пять” или ”семь”, он мог показать числа на пальцах рук.
Какие системы счисления сложились исторически?
Для любых операций над числами необходимы два понятия: “единица” и “ноль”.
(слайд 3) И, если понятие “единица (счета)”, в принципе, может быть установлено произвольно, то понятие “ноль” – универсальный математический постулат.
Без этого постулата введение какой-либо универсальной системы счисления невозможно.
Счет на пальцах дал основание, по крайней мере, пяти системам счисления помимо десятеричной, а именно: четверичной, пятиричной, восьмиричной, двадцатиричной и сорокаричной.
(слайд 4) Остатки двух последних сохранились, например, в русском сорок и словацком meru “сорок, дословно: мера”, в английском score “двадцать” и в том, что в английском фунте до недавнего времени было 20 шиллингов, во французском 80 — quatre-vingt, т.е. “четыре двадцатки”, и т. д.
(слайд 5) Кстати, про Москву еще в 17 веке говорили, что в ней «сорок сороков церквей», хотя их было порядка ста, т.е. слово «40» еще ассоциировалось не только с число 40, но и с понятием «конец счета», т.е. «минимальный цикл», уже равный к тому времени 10.
(Сорокаричная система — это начало торговли: т.е. все пальцы продавца и покупателя).
(слайд 7) Остатки восьмиричной системы сохранились в русском “осьмушка” (результат троекратного деления пополам) и названии буквы I в русской гражданской азбуке до 1918 г. “и восьмиричное”, в отличие от И — “десятиричного”. (Заметим, что вторая часть этого сложного слова — ричное — однокоренное с решать, т.е. “считать”, ср. укр. рахувати, нем. rechnen. О буквах-числах будет подробно сказано ниже.) Восьмиричная система счисления лежит и в основе всех натуральных музыкальных ладов (октава) и была единственной до появления хроматической гаммы (до XVIII в.).
(слайд 8) Все системы счисления, основанные на пальцевом счете, связаны между собой. Наиболее старыми из них являются четверичная и пятиричная. Четверичная система основана на пальцах руки, не считая большого пальца. В английском языке, например, эти четыре пальца называются одним словом (fingers), а большой палец – другим (thumb, соответствует русскому дыб). То же касается и пальцев ног (большой палец – англ. toe). Слово пять — однокоренное с пясть (т.е. ладонь).
(слайд 9) Четверичная система произошла от самой древней – двоичной (две руки, два глаза, двоичное число существительных и т. д. ), которая теперь применяется в компьютерах. В четверичной пальцевой системе большой палец означал конец счета – т. е. эквивалент нуля. Остатки четверичной системы прослеживаются в музыкальной нотации (октава делится на два тетрахорда), в средневековых французских стихах-катренах (XVII в.), в названии русской меры жидкостей “четверть”, в делении года на четыре сезона и т. п.
(слайд 10) Так называемые “римские” цифры также основаны на пальцевом счете и, по сути, являются сочетанием двоичной, четверичной, пятиричной и сорокаричной систем. В системе римских цифр числа от 1 до 39 (XXXIX) отображаются некоторой комбинацией одинаковых палочек (не букв латиницы I, V, X, порядок которых в алфавите не имеет ничего общего со счетом, в отличие, например от греческого!). А вот число сорок — “конец счета” — отображалось буквой L (от лат. Libra – вес) – отсюда знак фунта стерлингов.
(слайд 11) “Римские” цифры-буквы C (100), D (500), M (1000) – это первые буквы французских слов cent (сто), demi (половина) и mille (ныне тысяча, в XIV веке означало просто “много”, ср. русское тьма = 10000) и появились они не ранее XV века (первая папская энциклика, датированная от “Рождества Христова”, MCDXXXI, т.е. 1431 г.), тогда же и L приобрело значение 50 вместо 40. Это была безнадежная попытка путем приведения системы римских цифр к подобию десятиричной системы сделать их конкурентоспособными по сравнению с арабскими.
Нуля среди римских цифр никогда не было.
(слайд 12) Комбинация четверичной и пятиричной систем проявляется в том, что первая “новая единица” V отражает наименьший цикл (5), но появляется при отображении числа 4 (IV). “Скачок” от системы, кратной двум, к системе, кратной пяти происходит на цифре 9, которая именно поэтому во всех западноевропейских языках называется “новой” (лат. nona, англ. nine, фр. neuf и т. п.), а в балтославянских – “чудесной”: девять, лит. devyni- от “диво”.
(слайд 13) Переход от восьмиричной к десятиричной систенме на Руси оставил след и в слове девяносто. Сто — слово, однокоренное с сыт, насыщение, и также изначально обозначало «конец счета», то есть не число 100, а число 5, ср. с фр. cinq (5), ит. cinque, наряду с фр. cent, ит. cento (100). Поэтому девяносто — это «насыщение девятками» в десятиричной системе, попытка комбинации восьми- и десятиричной систем, аналогичная комбинации четверичной и пятиричной в системе римских цифр.
(слайд 14) Рассматривая эволюцию систем счисления, основанных на пальцевом счете, можно с большой вероятность сделать вывод, что десятиричная система стала вытеснять остальные только к XV в. – под влиянием арабов и Орды (что, впрочем, по сути, одно и то же, поскольку арабская культура и есть часть ордынской.)
Другая группа систем счисления основана на природных циклах.
Это семиричная система дней недели, двенадцатиричная система месяцев, двадцатичетырехричная система часов, шестидесятиричная система минут и секунд, девятнадцатиричная система девятнадцатилетнего “круга Луны” и двадцативосьмиричная система аналогичного “круга Солнца”.
(слайд 15) Мало кто знает, что Базельский Собор 1431 г. занимался, в числе главных вопросов, проблемой календаря, а вопрос о единой системе счисления вообще впервые поставил именно на нем в своем докладе выдающийся ученый (математик и астроном) кардинал Николай Кузанский. Опираясь на данные лучшего к тому времени звездного каталога Улугбека, он убедительно доказал, что без введения десятиричной системы счисления, самой удобной для наглядного обучения (!), в обозримом будущем возникнет катастрофическая проблема “обнуления астрономического счетчика”.
(слайд 16) Достоверно известно, что в 9 веке в Индии уже использовали цифру «ноль» и позиционную десятиричную систему счисления. Существует так же мнение, что ноль позаимствован был из Древнего Вавилона, где он использовался в позиционной шестидесятиричной системе счисления (от сюда в часе 60 минут), а индусы перенесли его, как понятие, на десятиричную систему счисления.
Так же известно, что «ноль» использовался древними майя в двадцатиричной системе счисления.
-
Система счисления –это способ представления чисел и соответствующие ему правила действия над числами.
Система счисления бывают позиционные и непозиционные.
В позиционной системе счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от её позиции.
Система счисления в Древнем Риме
Система счисления в Древнем Египте.
Алфавитная система счисления
Славянский цифровой алфавит
Ясачные грамоты
Вавилонская система счисления
Кодирование информации – Азбука Морзе
-
Вопросы:
-
Какие системы счисления бывают?
-
Что такое система счисления?
-
Приведите примеры непозиционных систем счисления?
-
«Перевод чисел из одной системы счисления в другую».
План урока:
-
Орг. момент.
-
Изучение нового материала.
-
Решение примеров.
-
Задание на дом.
-
Итог урока.
Представление чисел в различных системах счисления:
Для перевода чисел из десятичной системы счисления в любую другую надо делить число на основание до тех пор, пока последнее частное не станет меньше основания. А затем переписать все остатки, начиная с последнего частного в обратном направлении.
ПРИМЕР:
1
0210 → 11001102
1
02 2
1
02 51 2
0 50 25 2
1 24 12 2
1 12 6 2
0 6 3 2
0 2 1
1
№1. Переведите самостоятельно и объясните ответ :
22710→ Е316
Для перевода чисел из любую системы счисления в десятичную надо представить это число в виде суммы произведений каждой цифры числа умноженного на основание в степени на единицу меньше порядкового номера цифры числа.
Пусть p – это основание системы счисления
Тогда
anan-1…a1a0 p= an pn-1+an-1 pn-2+…+a1 p 0
ПРИМЕР:
1
1001102 → 10210
1
1 0 0 0 0 0 = 1*26 + 1*25+ 0*24+ 0*23+ 1*22+ 1*21+ 0*20 = 64+32+4+2=102
6
5 4 3 2 1 0
суммы произведений
№2. Делаем проверку примера 1.
Е316 →22710
-
Д/з. Переведите число 320 из десятичной системы счисления в 16, 3, 8, 2 и сделайте проверку.
-
Ответьте на вопросы:
-
Какие действия надо производить для перевода чисел из десятичной системы счисления?
-
Сколько цифр используется в двоичной, шестнадцатеричной системе счисления?
-
Какие действия надо производить для перевода чисел в десятичную систему счисления?
Примеры для самостоятельного перевода чисел
-
24(10) – (2)
11000
3F (16) – (10)
63
140(10) – (8)
214
100010(2) – (10)
34
144(8) – (10)
100
235(10) – (8)
353
1000111(2) – (10)
71
211 (10) – (2)
11010011
E7(16) – (10)
231
1100111(2) – (10)
103
123(10) – (8)
173
10111011(2) – (10)
187
145(10) – (16)
91
-
Умножение(2)
1*1=1
1*0=0
0*1=0
0*0=0
Сложение(2)
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=10
Вычитание (2)
0 – 1 = 1 (заем из старшего разряда)
1 – 1 = 0
1 – 0 = 1
0 – 0 = 0
ПРИМЕР:
1110
* 10
——
+ 0000
1110
——
11100
Для решения примеров в троичной и восьмеричной системах счисления, составим таблицы сложения и умножения в этих системах счисления.
|
1 |
2 |
|
|
1 |
1 |
2 |
|
2 |
2 |
11 |
Сложение(3)
|
1 |
2 |
|
|
1 |
2 |
10 |
|
2 |
10 |
11 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
10 |
|
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
10 |
11 |
|
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
10 |
11 |
12 |
|
4 |
5 |
6 |
7 |
10 |
11 |
12 |
13 |
|
5 |
6 |
7 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
|
6 |
7 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
7 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
Умножение(8) Сложение(8)
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
|
1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
2 |
2 |
4 |
6 |
10 |
12 |
14 |
16 |
|
3 |
3 |
6 |
11 |
14 |
17 |
22 |
25 |
|
4 |
4 |
10 |
14 |
20 |
24 |
30 |
34 |
|
5 |
5 |
12 |
17 |
24 |
31 |
36 |
43 |
|
6 |
6 |
14 |
22 |
30 |
36 |
44 |
52 |
|
7 |
7 |
16 |
25 |
34 |
43 |
52 |
61 |
-
Примеры:
№1 (троичная система счисления)
12 + 22 = 111 21 * 2 = 112
-
— 11 = 210 11 : 2 = 2
№2 (двоичная система счисления)
1110+101=10011 10101-11=10010
101*11=1111 1110/10=111
№3 (восьмеричная система счисления)
476+251=747 621-142=457
12*6=74 123/3=33
-
Задание на дом.
Составить таблицу сложения шестнадцатеричной системы счисления.
Выполнить действия.
|
10012+10112= 11002+1112= 1013+223= 2013*103= |
10102+11002= 10012+1112= 2113+213= 2113*113= |
15