Урок по алгебре в 11 классе «ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРОМ»

ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРОМ для 11 класса.

(из сборника «ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ-2008» под редакцией Е.А.СЕМЕНКО)

Все рассматриваемые задания в сборнике являются заданиями С3 части 3.

Вариант 1

Найти все значения параметра а, при которых в области определения функции

у =

есть натуральные числа, но ни одно из них не делится на 7.

Решение.

у=

D(у): >0.

Рассмотрим 2 случая:

  1. a >1,

> 0,

>1;

a >1,

1> 0;

a >1,

> 0;

a >1,

> 0;

a >1,

< 0;

Решим 2-ое неравенство методом интервалов:

а) х(а-1) + 4=0, б) ах + 4=0,

х = . х = .

Сравним числа при а>1:

< 0, т.к.1- а < 0

Значит,

в

)

x

х є ( ; ) при а >1.

Очевидно, что на этом промежутке расположены только отрицательные числа, а значит, среди них нет натуральных чисел, и условие задачи не выполняется.

  1. 0<a<1,

>0,

<1;

0<a<1,

>0,

<0;

0< a<1,

>0,

< 0.

При 0< а 0, и значит .

Решим 2-ое неравенство системы методом интервалов:

0

x

Решим 3-е неравенство системы методом интервалов:

x

Итак, х є (0; ), при а є (0;1)

Ясно, что этот промежуток содержит натуральные числа.

Чтобы эти числа не делились на 7, необходимо выполнение следующих условий :

0 1

7 х

,

0< a <1;

0< a < 1;

0< a < 1; т.к. а < 1, то 1- а > 0

а + 3≥ 0,

7а — 3≤ 0,

0 < а < 1;

3≤ а ≤ ,

0 < а < 1; т.е. а є (0; ).

Ответ: а є (0; 3/7)

Вариант 2.

Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

4х+2( а-3)2х+5-а=0 не имеет корней.

Решение:

Пусть 2х = t, t>0, тогда уравнение примет вид:

t2 +2(a-3)t+5-a=0.

Решим это уравнение при t>0, и определим, при каких значениях а, оно не имеет корней.

Возможны 2 случая:

  1. Квадратное уравнение не имеет корней, если D<0

D=(a-3)2-(5-a)=a2-6a+9-5+a=a2-5a+4=(a-1)(a-4),

(a-1)(a-4)<0, a є (1; 4)

2)Данное в условии уравнение не будет иметь корней, если квадратное уравнение относительно t имеет корни, но они не удовлетворяют условию t > 0, т.е. t ≤ 0.

Итак, D ≥ 0,

t1 +t2 ≤ 0,

t1t2 ≥ 0.

По теореме Виета t1+ t2= -2(a-3),

t1 t2= 5-a.

Значит, (a-1)(a-4) ≥ 0,

-2(a-3) ≤ 0,

5-a ≥ 0;

(a-1)(a-4) 0,

a-3 0,

a 5;

(a-1)(a-4) 0,

3≤ a 5;

+

+

1 3 4 5 a

а є [4;5].

Итак, условие задачи выполняется, если

а є (1; 4) [4; 5] = (1; 5].

Ответ: а є (1; 5]

Вариант 3

Найдите все значения параметра а, при которых множество решений неравенства

• 32xa >

содержит ровно 6 целых чисел.

Решение:

> ,

>

Т.к. функция у=3t монотонно возрастает на (-∞; +∞), то большему значению аргумента соответствует большее значение функции, поэтому:

a|x-1|+ 2x-a > x2,

x2 -2x- a|x-1|+a< 0.

  1. Если х ≥ 1, то |x-1|= x-1;

х2-2x- a(x-1)+a<0,

x 1;

x2 (2+a)x+2a<0,

x 1;

(x-2)(x-a)<0,

x ≥1.

  1. Е

    а 1 2 х

    сли а<1, то:

х є [1; 2)

  1. Е

    1 2 х

    сли а=1, то:

х є (1; 2)

  1. Если а є (1; 2), то:

1 а 2 х

х є (а; 2)

  1. Если а = 2, то неравенство (х-2)2<0 не имеет решений

  2. Если а > 2, то:

х

1 2 а х

є (2; а).

2)Если х<1, то |x-1|=1-x

x2-2xa(1-x)+a<0,

x <1;

x2-(2-a)x <0,

x <1;

x (x-(2-а))<0,

x < 1.

Решим 1-ое неравенство системы методом интервалов, рассмотрев различные случаи взаимного расположения точек х=0 и х = 2-а

  1. Если 2-а2, то:

2-а 0 1 х

х є (2-а; 0)

  1. Если 2-а=0, т.е. а=2, то1-ое неравенство системы примет вид х2<0, которое не имеет решений.

  2. Если 0< 2-а <1, т.е. а є (1; 2), то:

0 2-а 1 х

х є (0; 2-а)

  1. Если 2-а=1, т.е. а=1, то

0 2-а=1 х

х є (0; 1)

е) Если 2-а>1,т.е. а<1, то

0 1 2-а х

х є (0;1)

Итак,

  1. При а<1, х є (0;1)[1;2)=(0; 2). Это множество решений не содержит 6 целых чисел, значит, условие задачи не выполняется.

  2. При а =1, х є (0; 1)(1; 2). В этом множестве нет целых чисел вообще.

  3. При а є (1;2), х є (0; 2-а)(а; 2), где так же нет целых чисел

  4. При а =2, неравенство не имеет решений.

  5. При а >2, х є (2-а; 0)(2; а).

Это множество представляет собой объединение двух промежутков одинаковой длины |a-2|, каждый из которых должен по условию задачи содержать ровно 3 целых числа. На промежутке (2;а)- это числа: 3; 4; 5. Значит, а ≤ 6.

На промежутке (2-а; 0)-это числа:-1; -2; -3. Значит, 2-а < -3,

т.е. а > 5.

Итак, а є (5; 6]

Ответ : а є (5; 6]

Вариант 4

Найдите все значения параметра а, при которых в области определения функции y=

нет ни одного натурального числа, квадрат которого больше либо равен 144.

Решение:

D(y): loga(x-2) — loga(ax+1)>0,

loga(x-2) > loga(ax+1)

x-2>0,

ax+1>0;

Рассмотрим 2 случая:

  1. a>1,

x-2> ax+1,

x-2 > 0,

ax+1 > 0;

a>1,

x(1-a) > 3,

ax > -1; т.к. а>1, то 1-а<0, тогда:

a > 1,

х < ,

x >

Оба числа и являются отрицательными, сравним их при а >1:

= = < 0, т.к. а > 1

Значит, <

x

Решений нет; т.е. область определения функции — пустое множество; в таких случаях говорят, что функция не определена, а значит, условие задачи не выполняется.

  1. 0< a <1,

x-2 < ax+1,

x-2 >0;

0< a< 1,

x(1-a)< 3,

x >2;

т.к. а є (0; 1), то 1-а>0,

0<a<1,

х < ,

x > 2.

При всех а є (0; 1) числа >3

2

x

Итак, х є (2; ) при а є (0; 1).

По условию задачи в D(у) не должно быть ни одного натурального числа, квадрат которого был бы больше либо равен 144. Значит, число 12 не должно находиться внутри этого промежутка, т.е.

≤ 12,

0< a< 1;

3 ≤ 12(1-a),

0< a <1;

12a ≤ 9,

0 <a < 1;

a ≤ 3/4,

0< a< 1.

Итак, a є ( 0; 3/4]

Ответ: а є (0; 0,75]

Вариант 5

Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

3|8-x| = имеет ровно один корень, принадлежащий отрезку [3; 9].

Решение:

3|8-x| = 3ax

Т.к. функция у=3t монотонно возрастает на (-∞; +∞), тогда

|8-x|=ax, или |x-8|=ax.

Решим уравнение графически.

у

У=|x-8|

y=ax, a=a2

х

5

y=ax, a=a1

0

8 9

1 3

у = ах — множество прямых, проходящих через начало координат и имеющих различные угловые коэффициенты.

  1. Если а=0, то графики функций у=0 и у=|х-8| пересекаются при х= 8, 8 є [3; 9]

  2. Из рисунка видно, что имеются два предельных положения прямой у = ах, таких, чтобы она пересекала график функции у=|х-8| в одной точке с абсциссой, принадлежащей отрезку[3; 9].

Итак, а1 < а ≤ а2,

где а1 = tg α1 = 1/9,

a2 = tg α2 =5/3.

Значит, данное уравнение имеет один корень из промежутка [3; 9], если

а є

Ответ : а є (1/9; 5/3]

Вариант 6

Найдите все значения параметра а, при которых в области определения функции

у =

есть натуральные числа, кратные 5, но ни одно из кратных 5 не делится на 9.

Решение:

logax — loga(ax+1) ≥0,

logax ≥ loga(ax+1).

1)если а >1, то функция у=loga t возрастает на (0;+∞),поэтому:

a >1,

x >0,

ax+1>0,

xax+1;

a>1,

x >0,

x >-1/a,

(1-a) x ≥1;т.к. при а >1, (1-а)<0, то:

a >1,

x >0,

x.

Очевидно, что система не имеет решений, т.к. 1. Значит, при а>1функция не определена, и условие задачи не выполняется.

2)при а є (0;1) функция у=loga t убывает на (0;+∞), значит

0 < a <1,

х >0,

ax > -1,

x ≤ ax+1;

0< a <1,

X >0,

(1-a) x ≤ 1;

0< a <1,

х > 0,

х ≤ .

Т.к. >0 при а є (0; 1), то х є (0; ] при а є (0; 1).

Итак, D(f) = (0; ], a є (0; 1)

Чтобы в области определения функции содержались числа, кратные 5, необходимо выполнение неравенства:

≥ 5.

Но, чтобы эти числа не были кратны 9, необходимо выполнение неравенства: < 45.

Итак, 0< a<1,

≥5,

<45;

Т.к. 0<a0; получим:

0<a<1,

1 5(1-a),

1 <45(1-a);

0< a <1,

5a 4,

45a < 44;

0<a<1,

а ≥ 4/5,

a< 44/45, т.е. а є [4/5; 44/45)

Ответ: а є [4/5; 44/45)

Вариант 7

Найдите все значения параметра а, при которых в области определения функции

y=

есть натуральные числа, кратные 3, но ни одно из кратных 3 не делится на 7.

Ответ: а є [1/3; 17/21)

Указания:

При а >1 D(f) — пустое множество, значит функция неопределенна.

При а є (0; 1) D(y) = (3;]. Чтобы в D(y) содержались числа, кратные 3, но не кратные 7, необходимо, чтобы

6 ≤ < 21.

3 6 7 21 x

Решив неравенство 6 ≤ < 21 при а є (0;1), получим ответ.

Вариант 8

Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

25х+2(а+1)5х+1-5а=0 не имеет корней.

Ответ: а є (-7; 0,2).

Указания:

Условие задачи выполняется, если 1) D<0; или 2) D ≥0, но корни соответствующего квадратного уравнения неположительны, тогда по т. Виета 2(а+1) ≥ 0 и 1-5а ≥ 0.

Вариант 9

При каких значениях параметра а уравнение

имеет ровно три различных корня?

Решение

Т.к. 4х2 — 20х + 25=(2х-5)2, то уравнение примет вид:

Т.к. функция у=2t монотонно возрастает на (-∞; +∞), то:

2ах2+6ах-(х+3)=(х+3)| 2х-5 |,

2ах(х+3)-(х+3)=(х+3)| 2х-5 |,

(2ах-1)(х+3)=(х+3)|2x-5|,

х+3=0,

2ах-1=| 2х-5|.

Значит, х = -3 – один из корней данного уравнения.

Решим уравнение 2ах-1=|2x-5 | графически, и найдем значения параметра а, при которых это уравнение имеет только 2 корня.

Р

азделим на 2 обе части этого уравнения, и построим графики функций у= ах и у =|x-2,5| +0,5

y

Y=ax, a=1

Y=|x-2,5|

1

Y=ax, a=a1

1 2,5 x

x

Очевидно, что графики функций будут пересекаться в двух точках, если

а є (а1; 1)

Причем, абсциссы точек пересечения будут больше 1,5, а, значит, никогда не примут значение х = -3; поэтому все корни уравнения будут различны.

Найдем а1: а1=tg α=0,5:2,5=0,2

Итак, уравнение имеет 3 различных корня, если а є (0,2; 1)

Ответ: а є (0,2; 1).

Вариант 10

Найдите все значения параметра а, при которых в области определения функции

y =

есть натуральные числа, кратные трем, но ни одно из кратных трем не делится на 5.

Ответ: а є (0; 0,8]

Указания:

D(у): loga(x-1)-loga(ax+1)>0

1)Функция неопределенна при а>1

2)D(у)= (1;) при ає(0;1)

3<≤15,

0<а<1.

Вариант 11

Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

lg +lg(x+1)=lg(ax2+(2+a)x+2) имеет два различных корня.

Решение:

lg +lg(x+1)=lg(ax2+(2+a)x+2),

lg(|3-x|•(x+1))=lg(ax2+(2+a)x+2)

|3-x|>0,

x+1>0,

ax2+(2+a)x+2>0;

x >-1,

x ≠3,

ax2+(2+a)x+2>0,

| x-3|(x+1)=ax2+(2+a)x+2;

Т.к. х > -1, то |x-3|(x+1)>0

x >-1,

x 3,

|x-3|(x+1)= ax2+(2+a)x+2.

  1. -1< x<3,

(3-x)(x+1)= ax2+(2+a)x+2;

-1< x<3,

-x2+2x+3= ax2=2x+ax+2;

-1< x<3,

(a+1)x2+ax-1=0;

-1< x <3,

x = -1,

x = ;

-1< <3,

> 1,

<3;

-2

-1

a

> 0,

-1

-2/3

-2

a

> 0.

а є (-∞;-2)(-2/3;+∞)

  1. x>3,

(x-3)(x+1)=ax2+(2+a)x+2;

x>3,

x2-2x-3-ax2-2x-ax-2=0;

x >3,

(1-a)x2-(a+4)x-5=0;

Т.к. 1- а-5= — (а+4), то х1= -1, что не удовлетворяет условию х >3;

х2 = ,значит:

> 3,

1 a

> 0 .

а є(-2/3;1)

И

так,

х

-2 — a

1 =

x

1 a

2 =

Уравнение имеет 2 различных корня, если а є (-2/3; 1)

Ответ: а є (-2/3; 1)

Вариант 12

При каких значениях параметра а уравнение

имеет три различных корня?

Решение:

,

,

.

Т.к. показательная функция у=5t монотонно возрастает на (-∞; +∞), то:

(х+1)|3x+4|=(ax+2)(x+1),

x=-1,

|3x+4|=ax+2;

значит, х = -1 – один из корней уравнения.

Решим уравнение |3x+4|=ax+2 графически, и определим значения параметра а, при которых графики функций у=|3х+4| и у=ах+2 пересекаются в двух точках.

у

У=|3x+4|

Y=ax+2, a=a2

2

х

Y=ax+2, a=a1

-1

Очевидно, что графики функций будут пересекаться в двух точках, если ає (а1; а2),

а1=tgα1=-3:1= -3,

a2=tgα2=2: ==1,5

Итак, ає (-3;1,5); но следует исключить те значения а, при которых абсцисса точки пересечения графиков равна -1

Если х= -1, то: |3(-1)+4|=a(-1)+2,

|-3+4|=-a+2,

a=1.

Значит, а є (-3;1)(1;1,5)

Ответ: а є (-3;1)(1;1,5)

Вариант 13

Найдите все значения параметра а, при которых в области определения функции

y=

нет ни одного натурального числа, квадрат которого больше либо равен 121.

Решение:

у =

D(y): >0,

  1. a>1,

>0,

>1;

a>1,

>1;

a>1,

>0;

a>1,

>0.

Решим 2-ое неравенство системы методом интервалов. Сравним числа и при а>1:

+ =

Значит, при а>1

x

х є при а>1.

  1. 0<a<1,

Решим неравенства системы методом интервалов.

При а є (0;1) число , число а, значит и больше 1.

x

1 x

х є (1; ) при а є (0;1)

  1. Итак, при а > 1 D(у)= ;

при а є (0; 1) D(у)=

По условию задачи, в области определения функции не должно находиться ни одно натуральное число, квадрат которого больше либо равен 121.

При а >1 в D(у) нет положительных чисел, а, значит, нет и натуральных чисел; поэтому при а > 1 условие задачи выполняется.

При а є (0; 1) в D(у) могут содержаться натуральные числа. Первое число, квадрат которого равен 121, это 11. Значит, необходимо выполнение условий:

0

1 11 x

<a<1;

3≤ 11-11a,

0< a<1;

11a 8,

0< a<1;

a,

0< a <1.

а є (0; 8/11].

Ответ: а є (0; 8/11]

Вариант 14

Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

имеет единственный корень.

Решение:

,

Т.к. функция у=4t монотонно возрастает на(-∞; +∞), то:

|3-2x|(x+3)=(2ax-1)(x+3),

x=-3,

|2x-3|=x-1.

Очевидно, что х = -3 — один из корней уравнения, и, чтобы он был единственный, необходимо, чтобы 2-ое уравнение системы не имело корней.

Разделим 2-ое уравнение совокупности на 2 и преобразуем его к виду: |x-1,5|+0,5=ax .

Решим его графически, и определим значения параметра а, при которых графики функций у = |x-1,5|+0,5 и у = ах не пересекаются.

у

Y=|x-1,5|+0,5

у=ах, а=а2

5

у=ах, а=а1

х

-3

Очевидно, что графики не пересекаются, если ає[а1; а2), где а1=tg α1 = -1,

a2=tg α2=0,5: 1,5=5: 15=1/3

Значит, а є [-1; 1/3)

Кроме того, следует добавить такие значения а, при которых графики пересекаются, но абсцисса точки пересечения равна -3.

х = -3:

|-3-1,5|+0,5=-3a,

|-4,5|+0,5=-3a,

-3a=5,

a=-5/3.

Итак, а є [-1; 1/3)

II способ (аналитический)

|2x-3|(x+3)=(2ax-1)(x+3),

x= -3,

|2x-3|=2ax-1.

Решим 2-ое уравнение совокупности:

  1. Если х ≥ 1,5, то |2x-3|=2x-3,

2x-3 = 2ax-1,

2x-2ax = 2,

(1-a)x = 1.

а) при а=1 уравнение не имеет корней;

б) при а≠1 уравнение имеет один корень х =

Необходимо выполнение условия: х ≥ 1,5, т.е.

,

.

1/3 1

a

а є [1/3;1).

  1. Если х < 1,5, то |2x-3|=3-2x,

3-2x = 2ax-1,

2ax+2x = 4,

(a+1)x = 2.

а) приа = -1 уравнение не имеет корней;

б) при а ≠ -1 уравнение имеет один корень х = .

Необходимо выполнение условия: х <1,5, т.е.

-1 1/3 a

а є (-∞; -1)(1/3; +∞).

Итак, х = при a є [1/3; 1);

х = при a є (-∞ ; -1)(1/3; +∞);

x = -3 при а є R.

Выясним, при каких значениях параметра а корни совпадают.

  1. = -3,

1 = -3(1-a),

3a =4,

a=4/3 [1/3; 1),

значит корень ни при каких значениях а не равен -3.

  1. = -3,

2= -3(1+а),

3а=-5,

а= -5/3, значит, при а= -5/3 корни совпадают.

х =

1/3 1 a

х

-5/3 -1 1/3 a

=

х

a

=-3

Очевидно, что исходное уравнение имеет один корень

х= — 3 при а є [-1; 1/3)

Ответ: а є [-1; 1/3)

Вариант 15

Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

имеет ровно два корня, принадлежащих отрезку [2; 6].

Решение.

,

|x-4|=ax.

Решим уравнение графически, построив графики функций

y=|x— 4| и y=ax

у

у =ах, а=1

у=|x-4|

у=ах, а є (а1;1)

у=ах, а=а1

4

2

х

1 2 4 6

х0

Очевидно, что при а=1 графики пересекаются в одной точке с абсциссой

х = 2, значит, условие задачи не выполняется.

При а = 0 у = ах совпадает с Ох и графики функций также пересекаются в одной точке с абсциссой х = 4, и условие задачи не выполняется.

При а є (0; 1) графики пересекаются в двух точках, но, если а є (а1;1), то одна из абсцисс точек пересечения не принадлежит отрезку[2; 6]

Значит, условие задачи выполняется, и графики пересекаются в двух точках с абсциссами, принадлежащими [2;6], если а є (0; а1],

где а1=tgα = 2/6=1/3

Ответ: а є(0; 1/3]

Стр. 29

Скачать оригинальный файл

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Adblock
detector