Системы уравнений с двумя переменными (9 класс)

Цель

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

1. Орг. момент

Организовать работу обучающихся

на уроке, настроить обучающихся на учебную деятельность, предмет и тему урока.

В начале урока построение, приветствие ребят и учителя. Сообщение темы урока.

— Здравствуйте ребята, сегодня на уроке мы будем изучать тему: Системы уравнений с двумя переменными

( слайд №1)

2.Повторение

Повторить

учебный

материал,

встречающийся

при изучении

новой темы.

— Ребята, посмотрите на слова, из которых состоит тема нашего урока.

— В название темы встретились ли вам знакомые слова?

— Какие?

— Что же такое уравнение?

— А какие виды уравнений вы знаете?

— А что значит решить уравнение?

— Сколько переменных в этих уравнениях?

— А в названии нашей темы, сколько должно быть переменных?

Назовите пример линейного уравнения с двумя переменными.

— Можно ли выразить из этого уравнения одну переменную через другую?

— А какую переменную вы хотите выразить?

Давайте, ее выразим

А другую переменную можно выразить?

Выразите ее

— Что вам напоминает выражение с переменной у?

— А как называется эта функция?

-Как можно ее увидеть?

— А теперь усложним это уравнение.

— Какое уравнение получится?

— Знакомо вам это уравнение?

— Что является графиком квадратичной функции?

— Из какой функции получена данная функция? С помощью какого преобразования?

Так как мы заговорили о функциях, вспомните, какие еще бывают функции, и поздороваемся с ними.

— Вы же здороваетесь со знакомыми людьми?

Вот и мы будем здороваться со знакомыми функциями и рассказывать о них все, что знаем.

(учитель показывает таблички с различными видами функций, а ученики определяют их название и график)

1. у=кх Что вы знаете об этой функции?

2. у=к/х Что вы можете сказать об этой функции?

3. += Что вы можете сказать об этом уравнении?

-Хорошо, молодцы, справились с заданием, а теперь давайте вспомним, как выглядят графики функций.

Слайд 2)

— Как называется каждая из функций?

— Задания с графиками очень часто встречаются на ГИА по математике. Рассмотрим одно из таких заданий. Соотнесите график функции с соответствующей формулой.( Слайд 3)

— Мы повторили все, что связано со словами « уравнение с двумя переменными» , а теперь вернемся к теме урока

— Какое же слово мы не разобрали?

— Что же значит слово « система»?

— Давайте посмотрим, что означает слово система по толковому словарю.

-Но ведь с этим словом мы с вами уже знакомы, и в 7 и 8 классах мы решали системы уравнений.

— А, что значит решить систему уравнений?

— Какими способами можно решить систему уравнений?

— Сегодня мы будем рассматривать только графический способ.

-А теперь сформулируйте цель нашего урока.

Да

Уравнения

Это равенство, содержащее буквы

Линейные, квадратичные, дробные, целые

Найти неизвестную переменную

Одна

Две

х +у = 5

Можно

х

х =5 – у

Да

у = 5 — х

Функцию

Линейная

Построить график прямой, для его построения достаточно взять две точки.

у = 5-

Да, это уравнение квадратичной функции

Парабола, ветви направлены вниз

Из функции у= — , с помощью параллельного переноса вдоль оси у на 5 единиц вверх

Да

Это прямая пропорциональность, графиком является прямая, проходящая через начало координат. Если к>о, то график располагается в 1 и 3 координатной четверти, если к<0, то во 2 и 4 четверти.

Это обратная пропорциональность, графиком является гипербола. Если к>о, то график располагается в 1 и 3 координатной четверти, если к<0, то во 2 и 4 четверти.

Это уравнение окружности с центром в точке (;) и радиусом .

Линейная, обратная пропорциональность, прямая пропорциональность, квадратичная, линейная

На рисунке А изображена прямая проходящая через начало координат, она является графиком прямой пропорциональности отмеченной под цифрой 1. На рисунке Б изображена гипербола- график обратной пропорциональности, он отмечен под цифрой 2. Под буквой В изображена парабола- график квадратичной функции ей соответствует номер 3.

Система

Дети высказывают свое мнение

Система- форма организации чего- нибудь, нечто целое, представляющее единство взаимосвязанных частей

Да

Найти все решения или установить, что их нет

Подстановки, сложения

Дети формулируют цель урока: Сегодня мы должны рассмотреть системы уравнений и научится их решать графическим способом.

3. Объяснение нового материала

Рассмотреть

графический

способ решения

систем уравнений

с двумя переменными

Вывести алгоритм

графического способа

решения систем

уравнений с двумя

переменными

Давайте откроем тетради, запишем в них число, тему урока.

— Для того чтобы определить как же решается система уравнений графическим способом разберем пример ( Слайд 4)

-Можем ли мы сразу найти решение этой системы уравнений графическим способом?

— А как же нам поступить?

-Чем представлено первое уравнение?

— Чем является график второго уравнения?

-Куда направлены ветви параболы?

Почему?

— Что происходит с графиками этих уравнений?

-Сколько точек пересечения мы видим?

-Назовите координаты каждой точки.

-Сформулируем алгоритм решения систем уравнений графическим способом.

Молодцы, хорошо.

-Давайте проверим по слайду, верно ли мы составили алгоритм графического способа решения систем уравнений.

( Слайд 5)

-Прочитайте его

— Самый лучший результат для запоминания возникает, когда работает комбинированная память. Мы можем видеть о чем говорим, про себя проговаривать и записывать .

Запишите алгоритм себе в тетрадь и про себя проговорите его.

— При решении системы уравнений мы видели, что графики пересекались в четырех точках

— Как вы думаете, могут ли эти графики иметь другое расположение?

— Когда это возможно?

— Сколько же может быть точек пересечения, если мы будем двигать окружность?

— Сколько решений при этом может иметь система уравнений?

— От чего зависят решения?

Дети записывают в тетрадях число, классная работа, тема урока.

Нет

В одну систему координат поместить оба графика

Окружностью с центром в начале координат и радиусом равным 5

Параболой с вершиной в точке(1;6)

Вниз

Так как перед стоит знак минус

Пересекаются

4

А(-2; -4,5), В(0; 5), С(2,5; 4,2); D(4;-3).

Дети пытаются вывести алгоритм графического способа решения систем уравнений.

1. Мы должны видеть, что в каждом уравнении выражена переменная у.

2. Построить графики уравнений в одной системе координат

3. Найти точки пересечения графиков

4. Записать координаты полученных точек

1 человек читает алгоритм

Со слайда переписывают алгоритм

Да

Если сдвинуть окружность

3,2,1, не иметь общих точек

1, 3 ,2,несколько, не иметь решений

От количества общих точек

4.Музыкальная пауза

Мы с вами хорошо поработали, а теперь немного отдохнем, послушаем хорошую музыку и представим, что мы на берегу океана, вокруг нас шумят волны, ярко светит солнце.

5.Формирование умений и навыков

Закрепить полученные знания с помощью тренировочных заданий и упражнений.

Проконтролировать степень усвоения нового учебного материала

-Отдохнули, а теперь поучимся составлять уравнения и определять количество решений в системах.

выполним №441

Прочитайте задание.

-Что нужно сделать в этом задании?

— Назовите первую систему?

— Сколько решений имеет эта система? Почему?

— Назовите вторую систему?

— Сколько решений имеет вторая система? Почему?

— Назовите третью систему?

— Сколько уравнений должно быть в системе уравнений?

-А у нас сколько?

-Что же вы можете об этом сказать?

— Как же будет выглядеть система?

— Сколько решений она будет иметь? Почему?

— Теперь постараемся составить систему уравнений по имеющимся графикам.

Выполним№443 а ( на доске закреплен плакат с графиками данных систем уравнений).

— На каком рисунке система уравнений имеет два решения?

-Запишите получившуюся систему

— Что мы уже научились делать?

— А теперь вспомним, как записываются решения систем уравнений

( Слайд 6)

— Что значить решить эту систему?

-Как найти координаты точек пересечения?

— У первой точки, какие координаты?

— Назовите координаты второй точки

— Какой ответ у вас получился?

— Мы составляли системы уравнений, определяли количество корней в системе, а теперь перейдем к решению системы уравнений графическим способом

— Запишите №444 (а)

х-у=0

х∙у=4

— Чем будем пользоваться при решении системы?

— Что нужно сделать сначала?

Что получилось?

— Что вы можете сказать о первом уравнении системы?

— Сколько точек нужно для ее построения?

— Что вы можете сказать о втором уравнении системы?

— Что является графиком этой функции?

— Какие значения х можно брать для составления таблицы значений функции?

— Что нам нужно дальше выполнить?

-А потом?

— Сколько решений имеет данная система?

— Назовите решения системы уравнений?

Записать систему уравнений и определить количество решений для каждой из систем уравнений

у- х=3

у+2х= -3

1 решение, так как графики пересекаются в 1 точке

2у-х=6

2у-х=-4

Не имеет решений, так как графики не пересекаются

Могут возникнуть затруднения

2

1

Уравнения совпадают

у+2х=4

у+2х=4

Бесконечно, так как системы уравнений совпадают

2

+=4

у+2х=2

Составлять системы уравнений и определять количество решений этих систем

Нужно найти координаты точек пересечения двух уравнений

Опустить перпендикуляры на оси х и у из каждой точки

(-2;5)

(2;- 3)

(-2;5); (2;- 3)

( 1 человек решает у доски, остальные в тетради)

алгоритмом

Из каждого уравнения системы нужно выразить переменную у через х

у=х

у=

Это уравнение прямой пропорциональности, графиком является прямая, проходящая через начало координат

достаточно взять 1 точку

Составим таблицу

х

Это уравнение обратной пропорциональности

Гипербола

Любые , кроме 0

Составим таблицу

х

Построить уравнения в одной системе координат

Найти координаты точек пересечения этих уравнений

2

(-2;-2); (2;2)

6. Итог

Систематизировать

информацию,

полученную на уроке

Мы очень хорошо поработали, подведем итог нашей работы.

— Чем мы сегодня занимались?

— Так что же такое система уравнений?

— Что называют решением системы уравнений с двумя переменными?

-В каком случае система имеет единственное решение?

-В каком случае система имеет бесконечное множество решений?

-Когда система не имеет решений?

-Сформулируйте алгоритм графического решения систем уравнений

Графически решали системы уравнений

Системой уравнений называют некоторое количество уравнений, объединенных фигурной скобкой.

Пару значений переменных х и у , обращающих каждое уравнение в верное равенство.

Когда два уравнения имеют 1 точку пересечения графиков

Когда два уравнения совпадают

Когда два уравнения не имеют общих точек

Дети формулируют алгоритм графического решения систем уравнений по памяти.

7. Домашнее задание

П.3.5 №442(а; в), №444 б

Наш урок мне бы хотелось закончить строчками.

Приобретать знания — храбрость

Приумножать их — мудрость

А умело применять- великое искусство!

И вы действительно храбро искали пути решения системы с двумя переменными графическим способом. Мудро составляли алгоритм графического способа решения с двумя переменными, и умело применяли свои знания.

Учитель благодарит учеников за урок

Дети записывают домашнее задание в дневники