Курсовая работа по математике

Российская Федерация
ОБЩЕСТВО С ОГРАНИЧЕННОЙ ОТВЕТСТВЕННОСТЬЮ
«ИЗДАТЕЛЬСТВО «УЧИТЕЛЬ»
Отделение дополнительного образования
Функции задач в обучении математике как средство развития личности школьников
выпускная квалификационная работа слушателя
профессиональной переподготовки по направлению
педагогическое образование: учитель общеобразовательной организации (математика)
Выполнил:
Смирнова Нурия Рашидовна, СПП3
(Ф.И.О., группа)
________
(Подпись слушателя)
Научный руководитель:
________________________________
________________________________
(Ф.И.О., ученая степень, звание)
________________________________
(Подпись руководителя)

Волгоград – 2016
Оглавление
Введение ………………………………………………………………………………………………. 3
Глава 1. Текстовые задачи в школьном курсе математики 6
1.1. Исторические данные ………………………………………………………………………..6
1.2. Задачи: определение, структура ……………………………………………………….. 7
1.3. Классификация. ………………………………………………………………………………. 8
1.4. Функции задач в обучении …………………………………………………………….. 12
Глава 2. Методика обучения решению текстовых задач ….. 13
2.1. Основные методы: алгебраический, арифметический ……………………….. 14
2.2. Синтетический и аналитический методы решения задач ……………………. 16
2.3. Использование алгебраического метода для нахождения арифметического пути решения текстовых задач …………………………………………………………….. 18
2.4. Этапы решения текстовых задач. …………………………………………………….. 21
2.5. Организация обучения решению математических задач …………………… 23
2.6. Моделирование в методике решения текстовых задач ……………………… 27
2.7. Классификация текстовых задач по сюжету …………………………………….. 33
2.8. Текстовые задачи в составе ЕГЭ ……………………………………………………… 35
2.9. Связь с другими предметами ………………………………………………………….. 37
Заключение …………………………………………………………………………………………. 41
Список литературы………………………………………………………………………….. 43
ПРИЛОЖЕНИЯ…………………………………………………………………..44
Приложение 1 …………………………………………………………………………………………. 44
Приложение 2 …………………………………………………………………………………………. 45
Приложение 3 …………………………………………………………………………………………. 47
Приложение 4 …………………………………………………………………….. 50
Введение
Одним из важных вопросов методики преподавания математики является вопрос формирования у учащихся умений и навыков решения текстовых задач. В процессе обучения математике задачи выполняют разнообразные функции. Задачи являются эффективным и незаменимым средством усвоения учащимися понятий и методов школьного курса математики. Велика роль задач в развитии мышления и в математическом воспитании учащихся, в формировании у них умений и навыков в практических применениях математики. Решение задач способствует достижению целей, которые ставятся перед обучением математике. Именно поэтому для решения задач используется половина учебного времени уроков математики. Правильная методика обучения решению математических задач играет существенную роль в формировании высокого уровня математических знаний, умений и навыков учащихся. С задачи учащиеся знакомятся с новыми понятиями, для развития логического мышления, формирования межпредметных связей. Задачи позволяют применять знания, для решения вопросов, которые возникают в жизни человека.
Этапы решения задач являются формами развития мыслительной деятельности учащихся. Наблюдается активизация их мыслительной работы, формируется умение проводить исследование. При правильной организации работы у учащихся развивается активность, наблюдательность, находчивость, сообразительность, смекалка, абстрактное мышление, умение применять теорию к решению конкретных задач и закрепление на практике приобретённых умений и навыков.
Текстовые задачи входят в ГИА и ЕГЭ, так же являются традиционным разделом на вступительных экзаменах в ВУЗы. Поэтому, данная тема имеет важнейшее значение в обучении математике.
Умение ставить и решать задачи является одним из основных показателей уровня развития учащихся и имеет огромное практическое значение в будущей жизни ученика. Решение любой содержательной задачи призвано учить разрешать жизненную, производственную или научную проблему, с которой сталкивается любой человек. Особое внимание следует уделить тому периоду жизни учащихся, который приходится примерно на средние и старшие классы школы, когда детство уже позади, но профессиональное использование математики ещё невозможно. Этот период является критическим для успеха или неуспеха в строгом абстрактном мышлении: одни получают призы на олимпиадах, других математика только путает и пугает. И хорошее преподавание текстовых задач играет неоценимую роль в этот период, для того, чтобы при встрече текстовых задач в заданиях ЕГЭ, в конкурсных заданиях, в старших классах они не вызывали затруднений.
Отсюда возникает проблема исследования, состоящая в рассмотрении теоретических основ текстовых задач и методики обучения решению таких типов задач в школьном курсе математики. Проблема исследования определяет тему работы: «Функции задач в обучении математике»
Объект исследования — текстовые задачи в школьном курсе математики.
Предмет исследования – обучение решению задач в курсе математики 9 – 11 классов.
Цель: Выявить пути, условия и средства повышения эффективности обучения учащихся решению текстовых задач.
Задачи данной работы:
1. Изучить психолого-педагогическую и методическую литературу по данной теме.
2. Раскрыть методику обучения решению текстовых задач.
3. Разработать элективный курс «Решение текстовых задач» для учащихся 9-11 классов.
Практической значимостью работы является то, что результаты могут быть использованы учителями при обобщении и систематизации знаний учащихся в выпускных классах.
Структура работы: работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложений.

Глава 1. Текстовые задачи в школьном курсе математики
1.1. Исторические данные
Математические понятия – отражение объективного, реального мира, а не произвольные творения ума. Этим объясняется взаимопонимание математиков различных эпох.
Решение текстовых задач занимает в математическом образовании огромное место. Поэтому обучению решения задач уделяется много внимания. Практика применения текстовых задач в процессе обучения математике во всех цивилизованных государствах идет от глиняных табличек Древнего Вавилона и других древних письменных источников. Как известно из исторических источников, из поколения в поколение математические знания передавались в виде списков задач практическим содержанием. Так же передавали их решения. Первоначально обучению математике вели по образцам. Ученики решали задачи на определенное «правило», сравнивая с решением учителя.
Раньше обученным был тот, кто умел решать задачи определенных типов, которые встречаются в жизни (например, торговый расчет). При этом мало интересовало сознательное усвоение материала. Считалось, что понимать едва ли нужно. Наставники рекомендовали не вникнуть в суть, а выучить наизусть все и применить это к делу.
Первая причина глубокого изучения текстовых задач то, что долгое время детей обучали арифметике на основе освоения определенного набора вычислительных умений. И обучение вычислениям велось через задачи, а линия числа не вводилась еще.
Второй причиной повышенного внимания к использованию текстовых задач считается использование старинного способа передачи математических знаний и рассуждений с помощью текстовых задач. Используя анализ текста, выделяя главный вопрос задачи, составляя план её решения, поиском условий, проверкой результата формировались важные общеучебные умения. Так же важную роль играло приучение школьников к переводу текста на язык арифметических действий. Применение арифметических способов решения задач способствовало развитию образного и логического мышления учащихся, освоению естественного языка, повышению эффективности обучения математике и смежных дисциплин. Поэтому текстовые задачи играли важную роль в обучении в России.
1.2. Задачи: определение, структура
Текстовая задача – это описание некоторой проблемы или проблемной ситуации на естественном языке с требованием дать количественную характеристику того или иного компонента этой ситуации.
С задачами человек сталкивается постоянно и при изучении разных предметов и в жизни.
Одной из основных составляющих содержания учебного предмета математика являются текстовые задачи. И существуют теоретические материалы — понятия и их определения; алгоритмы; математические утверждения: аксиомы, теоремы, леммы… Особое место задач в обучении требует специального внимания к определению этого понятия.
Существуют разные подходы к определению задачи.
Наиболее общим является определение задачи как цели, заданной в определенных условиях (А. Н. Леонтьев). Л. Л. Гурова обращает главное внимание на объект мыслительных усилий человека, решающего задачу: «Задача — объект мыслительной деятельности, содержащий требование некоторого практического преобразования или ответа на теоретический вопрос посредством поиска условий, позволяющих раскрыть связи (отношения) между известными и неизвестными ее элементами»[1]. Большое распространение получило понимание задачи как определенной системы. Так думают: Г. А. Балл, Л. М. Фридман, Ю. М. Колягин, А. Ф. Эсаулов. Г.А. Балл предлагает такое определение: «Задача в самом общем виде — эта система, обязательными компонентами которой являются:
а) предмет задачи, находящийся в исходном состоянии;
б) модель требуемого состояния предмета задачи (эту модель отождествляем с требованием задачи) » [1].
При всех подходах к определению задачи можно отметить те компоненты, которые выделяются в структуре задачи как объекте мыслительной деятельности:
 условие (У) – предметная область задачи и отношения между объектами;
 обоснование (базис) (О) – теоретические или практические основы перехода от условия к заключению посредством операций, которые составляют решение задачи;
 решение (Р) – совокупность действий, операций, которую надо произвести над известными компонентами, чтобы выполнить требование, выраженное в заключении;
 заключение (З) – требование отыскать неизвестные компоненты, проверить правильность, сконструировать, построить, доказать.
Символически структуру задачи можно записать: УОРЗ.
В практике термин «решение задачи» применяется в трех различных случаях [1]:
 решение задачи как план (способ, метод) осуществления требования задачи;
 решение задачи как процесс выполнения плана, выполнения требования;
 решение задачи как результат выполнения плана решения.
1.3. Классификация.
Задачи классифицируются по величине проблемности (зависит от того, какие компоненты УОРЗ неизвестны).
1. Стандартные задачи – известны все компоненты УOРЗ. Такие задачи используются на этапах усвоения теоретического материала. Этот вид задач позволяет не только усвоить понятие, но и осуществить «обратную связь», оценить, как поняли учащиеся новый материал.
2. Обучающие задачи – неизвестен один компонент УОРх, УОхЗ, УхРЗ, хОРЗ.
3. Поисковые задачи – неизвестны два компонента УхуЗ, УОху, хОРу, хуРЗ, УхРуЗ, хОуЗ.
4. Проблемные задачи – неизвестны три компонента Ухуz, xOyz, xyPz, xyzЗ.
Структура задачи определяет и уровень проблемности в деятельности, которая направлена на решение задачи: репродуктивная или алгоритмическая (воспроизведение изученного способа), продуктивная (использование известного способа в новых ситуациях, привлечение знаний из других тем курса), творческая (использование эвристик).
Кроме деления по структуре и уровню проблемности, существуют и другие типологии математических задач.
Классифицируют:
1) по содержанию: на работу, на движение, на смеси и сплавы и т.д.;
2) по методу решения: арифметические, алгебраические (составление уравнений, неравенств и их систем), геометрические (через использование геометрических фигур и их свойств), комбинированные;
3) по характеру требований: задачи на вычисление, доказательство, объяснение, преобразование, конструирование, построение;
4) по специфике языка: текстовые (условие представлено на естественном языке), сюжетные (присутствует фабула), абстрактные (предметные).
Всякая типология задач является условной и зависит от многих обстоятельств. Так, например, одну и ту же задачу можно решить и арифметическим, и алгебраическим, и геометрическим методами. А отнесение задачи к тому или иному виду по степени проблемности зависит от того, кто решает задачу. Несмотря на это, различные типологии позволяют учителю более осознанно подходить к отбору задач в зависимости от целей обучения.
Задача 1. В одном элеваторе было зерна в два раза больше, чем в другом. Из первого элеватора вывезли 750 т зерна, во второй элеватор привезли 350 т, после чего в обоих элеваторах зерна стало поровну. Сколько зерна было первоначально в каждом элеваторе?
Для решения этой задачи используем метод уравнений и неравенств и метод длин из геометрии, основанный на свойствах длины отрезка.
Алгебраический метод. Пусть х т зерна было первоначально во втором элеваторе, тогда 2x т зерна было первоначально в первом элеваторе; (2х-750).т зерна осталось в первом элеваторе, а (х+350)т зерна стало во втором элеваторе. Так как в обоих элеваторах зерна стало поровну, то можно составить уравнение
2х-750=х+350, откуда х=1100, 2х=2*1100=2200
Ответ: 2200 т зерна было в первом элеваторе и 1100 т — во втором.
Геометрический метод. Решаем данную задачу с помощью линейной диаграммы. Линейная диаграмма — это, обычно, отрезок или несколько отрезков, длины которых соответствуют численным значениям рассматриваемой величины.
Свойства длины отрезка:
1) равные отрезки имеют равные длины; меньший отрезок имеет меньшую длину;
2) если точка делит отрезок на два отрезка, то длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков.
Решение. 1-й этап. Пусть отрезок AB изображает количество зерна в первом элеваторе (рис. 1), тогда отрезок (CD=1/2AB) будет изображать количество зерна во втором элеваторе.
AB=2*CD— первоначальное распределение зерна между элеваторами. Из первого элеватора вывезли 750 т зерна, а во второй элеватор
привезли 350 т, поэтому вычтем из отрезка AB отрезок BK, условно изображающий 750 т, а к отрезку CD прибавим отрезок DE, изображающий 350 т.
Рис. 1
АК = СЕ — конечное распределение зерна между элеваторами.
2-й этап. Способ I. СD = AF = FB (по построению),
FВ = FK + KB = 350+ 750 = 1100, значит, CD = 1100, АВ = 1100*2= 2200.
3-й этап. Ответ: в первом элеваторе было 2200 т зерна, во втором 1100 т.
Краткая запись решения этой задачи.
Решение. AB = 2CD — первоначальное распределение зерна между двумя элеваторами; BK = 750, DE = 350.
AK = CE — конечное распределение зерна между элеваторами.
CD = AF = FB (по построению), FB = 350 + 750 = 1100, тогда
CD = 1100, AB = 11002 = 2200.
Ответ: 2200 т, 1100 т.
Способ II. Пусть AK = CE = x, тогда, так как AB = 2CD, получим x + 750 = 2(x – 350),
откуда x = 1450, CD = 1450 – 350 = 1100, AB = 11002 = 2200.
Ответ: 2200 т, 1100 т.
Способ III. Пусть CD = x, тогда AB = 2x. Так как AK = CE, то имеем 2x – 750 = x + 350
Сложность задачи зависит от количества, характера связей, формулировки задачи и конструкции текста. При решении задачи сталкиваются объект и субъект, в процесс включается субъективный компонент – трудность.
Трудность – субъективная характеристика задачи, зависит от субъективного опыта ученика. А субъективный опыт — это знания учеником предметных областей, учебные умения, интеллектуальные умения, логика.
1.4. Функции задач в обучении
Вопросу определения функций задач в обучении уделяется много внимания в методической литературе: Колягин Ю.М. «Задачи в обучении математике» Ю.М. Колягин, Блох А.Я. «Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика» А.Я. Блох, Нешков К.И., Семушин А.Д. «Функции задач в обучении Математика в школе» К.И. Нешков, А.Д. Семушин, Ерина Т.М. «Алгебра. Текстовые задачи» Т.М. Ерина .В педагогической практике принято разделять задачи с дидактическими, познавательными и развивающими функциями [ Нешков К.И., Семушин А.Д. «Функции задач в обучении. Математика в школе» ].
Широкое распространение получило также деление задач по их роли в учебном процессе на задачи как средство и как цель обучения.
Задачи как средство обучения выполняют следующие функции:
1) обучения математической деятельности;
2) формирования ЗУН;
3) развития учащихся;
4) воспитания;
5) обучения моделированию явлений действительности [1].
Если задача рассматривается как цель обучения, то учащийся в результате ее решения усваивает понятие задачи, ее структуру, компоненты; процесс решения, приемы работы с текстом задачи, способы решения отдельных видов, общие методы поиска решения [1].
В процессе обучения одна и та же задача выполняет различные функции. Это зависит от ее роли в обучении.

Глава 2. Методика обучения решению текстовых задач
Решение задач – это сложная работа. В математике решаются собственно математические задачи, объектами которых являются какие-либо математические объекты, понятия и практические задачи. Сводимые к математическим задачам, объектами которых являются реальные предметы или явления.
Нахождение способа решения задачи подобно изобретению, а изобретение требует воображения, догадки, фантазии. Для того, чтобы научиться решать задачи, надо много поработать, надо научиться такому подходу к задаче, при котором задача выступает как объект тщательного изучения, а её решение – как объект конструирования и изобретения.
Обучение решению текстовых задач — это специально организованное взаимодействие учителя и учащихся, целью которого является формирование у учащихся умения решать и понимать задачи.
Для того, чтобы наиболее успешно учиться математике, надо иметь хорошую память, устойчивое внимание, развитое воображение, логическое мышление, сообразительность.
Только в результате самостоятельной и упорной работы можно действительно чему-то научиться, а тем более такому сложному умению, как умение решать математические задачи. Общее умение решать задачи складывается — из знаний о задачах, структуре задач, процессе решения и этапах решения, методах, способах и приемах решения. Из умений выполнять каждый из этапов решения любым из приемов, помогающих решению. Чтобы обучать умению решать задачи определенных видов, учащиеся должны знать о видах задач, способах решения задач каждого вида. И выработку умения выделять задачи соответствующих видов, выработать способы решения, применять их к решению конкретных задач. Любая задача состоит из двух основных частей: условия и требования.
Известные и неизвестные величины, а так же отношения между ними, составляют ее условие. Другими словами, в условии задачи сообщается какая-либо информация о чем-то. В тексте задачи может быть указано несколько неизвестных величин. Указание того, какое именно неизвестное является искомым – это требование задачи. Требование может быть в виде вопроса, и в форме указания что-либо найти, определить, вычислить, доказать и др. Условие и требование могут быть в разном порядке. Обозначим условие – У, требование – Т. Тогда структурную схему задачи можно показать так: У — Т, Т – У, У – Т – У. Чтобы правильно определить, где условие, а где требование, необходимо внимательно относиться к каждому слову в тексте и представить ситуацию, о которой говорится в задаче.
Решить математическую задачу – это значит найти такую последовательность общих положений математики (определений, аксиом, теорем, правил, законов, формул), применяя которые к условиям задачи или к их следствиям (промежуточным результатам решения) получаем то, что требуется к задаче, — её ответ.
Чтобы решить задачу, надо найти план её решения. Поиск плана решения составляет центральную часть всего процесса решения. Найдя план, его осуществление уже не составляет особого труда.
Для решения текстовых задач существует структура решений (см. приложение 2). Первым признаком, по которому все математические задачи делятся на отдельные виды или классы, является характер требования задачи.
2.1. Основные методы: алгебраический, арифметический
В основе типологии сюжетных задач лежит структура текста, методы решения, сюжет, уровни знаний учащихся при работе с задачей.
Типология по методам решения сюжетных задач: арифметический, алгебраический и геометрический.
Так же существуют эвристические методы решения сюжетных задач (метод подбора и догадки) и полная индукция, а также другие.
Способы арифметического метода: приведение к единице, отношения, исключение неизвестных, пропорциональное деление, подобие и т.д.
Алгебраический метод предусматривает перевод сюжета на математический язык на основе построения математической модели сюжета, известных зависимостей между величинами, решение задачи в рамках математической модели, интерпретацию полученного результата в сюжет, формулировку ответа. Математической моделью сюжетной задачи могут быть: числовое выражение, уравнение, система уравнений, неравенство, система неравенств, функция, график.
В геометрическом методе предусматривается использование геометрических объектов и их свойств, при решении задачи в рамках математической модели (метод сравнения длин отрезков (отрезочные диаграммы), метод подобия, метод площадей (двумерные диаграммы)). Основным преимуществом геометрического решения является наглядность, так как чертёж помогает глубже понять условие задачи.
Задача 1. Расстояние между двумя городами равно 450 км. Два автомобиля выходят одновременно навстречу друг другу. Один автомобиль мог бы пройти все расстояние за 9 часов, другой – вдвое быстрее. Через сколько часов они встретятся?

Читаем с чертежа ответ: 3 часа
При решении некоторых задач возможно применение нескольких методов. Тогда один из методов является основным (ведущим), а другой является способом реализации основного метода (см. задачу 1 на стр. 10).
Типы задач по уровням деятельности определяет форму учебной деятельности. Форма учебной деятельности показывает методику обучения поиску решения задачи и выбора метода решения.
Существуют три уровня учебной деятельности – алгоритмический (репродуктивный), продуктивный и творческий. В зависимости от уровня учебной деятельности задачи делятся на три класса:
— алгоритмические (заданный алгоритм);
— поисковые (аналитико-синтетической деятельность);
-эвристические (творческого подход).
2.2. Синтетический и аналитический методы решения задач
Необходимым условием решения сложной задачи является умение решать простые задачи, к которым можно свести составную задачу. Решить эти подзадачи, после чего преобразовать исходную задачу, имея в виду полученные результаты решения подзадач. После такого преобразования исходная задача, как правило, становится проще. Возможны два основных пути поиска решения: синтетический и аналитический.
Анализ – есть метод научного исследования путем разложения (фактического или мысленного) предмета на его составные части, а синтез — есть метод изучения предмета в его целостности, в единстве и взаимной связи его частей.
Анализ и синтез составляют единый аналитико-синтетический метод решения задач. Анализ и синтез неразрывно связанны, находятся в единстве друг с другом в процессе познания: анализируем мы всегда то, что синтетически целое, а синтезируем то, что аналитически расчленено. Анализ и синтез – важнейшие мыслительные операции, в единстве они дают полное и всестороннее знание действительности. Анализ даёт знание отдельных элементов, а синтез, опираясь на результаты анализа, объединяя эти элементы, обеспечивает знание объекта в целом [9, с 21].
При арифметическом решении текстовых задач роль анализа сводится к составлению плана решения, а задача чаще всего решается синтетическим методом.
Задача 2. Два самолета с реактивными двигателями одновременно вылетели с двух аэродромов навстречу друг другу. Расстояние между аэродромами 1870 км. Через сколько часов они встретятся, если один из них в 2/5 часа пролетает 360км, а скорость второго составляет 8/9 скорости первого.
Главная трудность при решении данной задачи — это составление плана её решения, разбиение условия на отдельные этапы. Для этого нужен глубокий анализ условия. Само решение отдельных задач трудности уже не вызывает, но бывает трудно свести решения этих задач к ответу на основной вопрос задачи.
Решение:
1.Какова скорость первого самолета?
360:2/5 = 900км/ч
2.Какова скорость второго самолета?
900•8/9 = 800км/ч
3.На сколько самолеты сближаются в течение часа?
900+800 = 1700км
4.Через сколько часов после вылета самолеты встретятся?
1870:1700 = 1.1 часа
Когда учащиеся решают задачи синтетическим методом, иногда выполняют лишнюю работу, а слабые ученики могут действовать бессмысленно.
Синтетический метод пользуется популярностью у школьников и учителей, так как он очень прост, не требует особого напряжения.
При аналитическом методе решения исходят не от условия задачи, а от ее требования, основного вопроса. При решении задач аналитическим методом ставится вопрос: «Что нужно знать, чтобы ответить на вопрос задачи?» Чтобы правильно ответить на поставленный вопрос, нужно знать данные этой задачи и учитывать зависимости, связывающие их с искомой величиной.
Аналитический метод удобен для поиска пути решения новой задачи, Он опирается на умение школьника рассуждать и способствует развитию его продуктивного, логического и функционального мышления.
В результате систематического применения аналитического метода решения у учащихся быстрее формируется умение самостоятельно решать новые для него задачи.
2.3. Использование алгебраического метода для нахождения арифметического пути решения текстовых задач
Арифметический метод среди распространенных методов решения текстовых задач имеет большое значение. Этот метод развивает логическое мышление, его гибкость и оригинальность, формирует такие умственные действия, как анализ и синтез. Не всегда сразу найдется арифметическое решение задачи. В таких случаях с помощью алгебраического метода можно получить ответ на требование задачи, а потом можно отыскать арифметическое решение.
Приводим несколько замечаний.
1. Не все текстовые задачи, решаемые алгебраическим методом, решаются арифметически. Например, задачи, при решении которых получаются квадратные уравнения или уравнения высших степеней, невозможно решить арифметическим методом.
2. Задачи, при решении которых алгебраическим методом, сводятся к линейному уравнению или системе линейных уравнений, можно решить и арифметическим методом.
3. Вид линейного уравнения, не всегда «подсказывает» арифметический путь решения задачи, однако дальнейшие преобразования уравнения позволяют его найти.
Задача 3. В 8 ч утра из пункта А в пункт В вышел поезд со скоростью 60 км/ч. В 11 ч из пункта В ему навстречу вышел другой поезд со скоростью 70 км/ч. В какое время поезда встретятся, если расстояние между пунктами 440 км.
Алгебраический метод приводит к следующему уравнению: (60+70)*х+60*3, или 130*х+180=440, где х ч — время движения второго поезда до встречи. Тогда 130*х=440-180; 130*х=260; х=2 (ч). По рассуждениям видно, что дальше можно решить задачу арифметически. Вычислим сумму скоростей поездов (60+70)=130; время движения первого поезда до начала движения второго поезда (11-8=3); расстояние, пройденное первым поездом за 3ч (60*3=180) ; расстояние, которое осталось пройти поездам до встречи (440-180=260); время движения второго поезда до встречи (260: 130=2 ).
Этапы решения задачи записываем в таблице. Покажем параллельно алгебраическим и арифметическим методами. Из таблицы видно, как алгебраические преобразования в ходе решения уравнений, помогают найти ее решение арифметически.
Этапы решения задачи
алгебраическим методом арифметическим методом
Пусть х ч.-время движения второго поезда до встречи.
По условию задачи получаем: (60+70)*х+60*3=440,
или 130*х+180 =440 Находим сумму скоростей поездов (60+70)=130; время движения первого поезда до начала движения второго (11-8=3); расстояние, пройденное первым поездом за 3 ч. (60*3=180)
Преобразовываем уравнение;
130*х=440-180; 130*3=260 Находим расстояние, которое осталось пройти поездам до встречи: 440-180=260(км)
Находим неизвестное: х= 260:130; х=2 Находим время движения второго поезда: 260:130=2 (ч)
Оформим решение задачи арифметическим методом:
1) 11- 8 = 3(ч) — был в пути первый поезд до начала движения второго;
2) 60*3 = 180(км) — прошел первый поезд за 3 ч;
3) 440-180=260 (км) — расстояние, пройденное поездами при одновременном движении;
4) 60+70=130 (км/ч) — скорость сближения поездов;
5) 260:130=2(ч) — время движения второго поезда;
6) 11+2=13(ч) — в такое время поезда встретятся.
Ответ: поезда встретятся в 13 ч.
Задача 4. По окончании спектакля 174 зрителя из театра разошлись пешком, а остальные поехали на трамваях в 18 вагонах, причем в каждый вагон садилось на 5 чел, больше, чем было в нем мест. Если бы зрители, уезжавшие из театра на трамвае, садились в него по числу мест, то понадобилось бы еще 3 вагона, причем в последнем осталось бы 6 свободных мест. Сколько всего зрителей было в театре?
Этапы решения задачи алгебраическим методом и соответствующие им этапы решения задачи арифметическим методом показаны в таблице.
Этапы решения задачи
алгебраическим методом арифметическим методом
Пусть в каждом трамвае было х мест.
Тога по условию задачи имеем уравнение: (х+5)*18=21*х-6.
Преобразуем его 21*х-18*х=90+6, или 3* х=96 В каждый вагон входило на 5 чел. больше, чем было в нем мест. В 18 вагонах- на 5 *18=90 (чел.) больше.
В 3 дополнительные вагона вошло 90 чел. и осталось ещё 6 свободных мест. Следовательно, в трёх вагонах 90+6=96 (мест)
Находим неизвестное: х=96:3; х=32 Находим число мест в оном вагоне: 96:3=32(места)
Используя данные таблицы, получаем арифметическое решение задачи:
1) 5* 18=90 ( чел.) — настолько человек больше, чем мест, было в 18 вагонах;
2) 90+6=96 (м.) — столько мест в трех вагонах;
3) 96:3=32 (м.) — столько мест в одном вагоне;
4) 32+5=37 (чел.) — было в каждом из 18 вагонов;
5) 37*18=666 (чел.) – зрителей уехало на трамваях;
6) 666+174=840 (чел.) – всего зрителей было в театре.
Ответ: в театре было 840 человек.
2.4. Этапы решения текстовых задач
Существует четыре этапа решения текстовой задачи (см. Приложение 1).
Этап 1. Анализ текста задачи. Переводим текст задачи на «язык ребенка», выделив при этом основные величины, связи между ними.
Цель -выделить объективное содержание, условие и заключение задачи. Результат — краткая запись задачи, которая может быть представлена таблицей, схематическим рисунком, графиками, отрезочными или двумерными диаграммами с определенными краткими пояснениями. По краткой записи можно восстановить текст задачи.
Этап 2. Поиск решения задачи. Цель – создать план решения задачи. Можно составить письменный текст или схему поиска.
Основные рекомендации для поиска решения математических задач.
1. Прочитав задачу, надо попытаться установить, к какому виду задач она принадлежит.
2. Если вы узнали в ней стандартную задачу, то примените для её решения известное вам общее правило.
3. Если же задача не является стандартной, то следует действовать в двух направлениях:
а) вычленять из задачи или разбивать её на подзадачи стандартного вида (способ разбиения);
б) переформулировать её, свести к задаче стандартного вида (способ моделирования).
4. Для того чтобы легче было осуществлять способы разбиения или моделирования, полезно предварительно построить наглядную вспомогательную модель задачи – её схематическую запись.
Этап 3. Реализация плана решения.
Этап 4. Проверка решения задачи (по смыслу, правильность логических и математических операций). Запись ответа, исследование задачи (другие методы и способы решения). Этот этап предполагает обобщение и систематизацию полученного опыта.
Задача 5. Геологи 4 часа летели на вертолете со скоростью 80км/ч , а затем ехали верхом 2часа со скоростью 12 км/ч. Какой путь проделали геологи за это время?
1. Речь идет о процессе движения, который характеризуется тремя величинами: скорость, время, расстояние.
2. В задаче два процесса: движение на вертолете и движение верхом. Можно составить таблицу ( краткая запись )

Решение:
1. Найдем расстояние, которое пролетели на вертолете
80 · 4 = 320 ( км )
2. Найдем расстояние, которое проехали геологи верхом. 12 · 2 = 24 ( км ) Найдем весь пройденный путь.320 + 24 = 344 ( км ).
Анализ решения: Путь, пройденный геологами, состоит из двух этапов: на вертолете и верхом. Мы нашли расстояние, которое пролетели на вертолете и которое проехали верхом, следовательно, весь путь равен сумме этих расстояний.
Ответ: 344 км
Говоря об обратных задачах можно сказать то, что обратная задача – это средство проверки решения основной задачи.
Задача 6. Поезд прошел 350 км со скоростью 70 км/ч. Найдите время, за которое поезд прошел данный путь.
Задача 7. Обратная задача: Поезд прошел путь за 5 ч и со скоростью 70 км/ч. Найдите путь, который прошел поезд.
Путь S (км) Скорость (км./ч) Время t (ч)
Прямая задача 350 70 ?
Обратная задача ? 70 5
2.5. Организация обучения решению математических задач
Фронтальное решение задач.
Под фронтальным решением задачи понимается одновременное решение одной и той же задачи всеми учениками.
Фронтальное решение можно организовать по-разному.
В V-VIII классах наиболее распространено устное фронтальное решение задач.
Такое решение в старших классах применяется редко. Учителя математики V-VIII классов почти на каждом уроке уделяют внимание устным упражнениям. Если ученики научатся устно выполнять вычисления и некоторые преобразования, то повышается производительность уроков математики, физики и химии.
Письменное решение задач с записью на классной доске.
В практике встречается необходимость решать одну и ту же задачу одновременно со всеми учениками на доске. В таких ситуациях задачу на доске может решать учитель или один из учеников по указанию учителя. Обычно на уроках математики применяют классную доску: а) при решении первых задач по ознакомлению с новыми понятиями и методами; б) при решении задач, с которыми не все ученики могут справиться самостоятельно; в) при рассмотрении различных способов решения одной и той же задачи — для сравнения и выбора лучшего варианта; г) для разбора задач, при самостоятельном решении которых допущены ошибки несколькими учениками. В этих случаях полезен коллективный разбор решения задач. Решение одной задачи несколькими способами приносит больше пользы, чем решение подряд нескольких однотипных задач. Рассмотрение учеником различных вариантов решения, умение выбрать из них наиболее рациональные, свидетельствуют об умении ученика мыслить, рассуждать, проводить правильные умозаключения, воспитывает у учащихся гибкость мышления. Для одновременного решения задачи разными способами, можно сразу нескольких учеников вызвать к доске.
Письменное самостоятельное решение задач.
При самостоятельном решении учащимися текстовых задач на уроках математики:
Во-первых, повышается учебная активность учащихся, интерес к решению задач, стимулируется творческая инициатива, развивается мыслительная деятельность учащихся.
Во-вторых, ученик вынужден сам разбираться в решении задачи, т. к. нет возможности копировать решение с доски.
В-третьих, самостоятельное решение задач сокращает время, необходимое для опроса учащихся, а оценивать успехи учащихся в некоторых случаях можно по итогам самостоятельного решения задач. Таким образом, повышается эффективность урока.
В-четвертых, у учителя будет возможность организовать индивидуальную работу учеников по решению задачи, увидеть ошибки, а ученики могут их исправлять.
На уроках математики самостоятельные работы по решению задач можно организовать по-разному. Например, учитель заранее подбирает задачи; в процессе работы некоторым ученикам помогает советом, других направляет к верному решению, третьи справляются самостоятельно.
Самостоятельная работа проверяется и оценивается, при этом учитывается степень самостоятельности ученика. При такой организации самостоятельной работы осуществляется и обучение, и контроль знаний. Как правило, учитель математики заранее предопределяет цели самостоятельных работ по решению задач. При выполнении обучающих самостоятельных работ учитель может оказывать помощь отдельным ученикам, так же можно предварительно анализировать и предложить самостоятельное решение. Самостоятельную работу можно организовать и таким образом: учащиеся самостоятельно изучают небольшой теоретический материал, им предлагаются образцы решения задач, разбирая их, ученики самостоятельно решают аналогичные задачи.
4) Комментирование решения математических задач.
Все ученики самостоятельно решают одну и ту же задачу, а один из учеников последовательно комментирует свое решение. Он объясняет, на каком основании выполняет какое–то преобразование. Вот пример комментирования: «Доказать, что сумма трех последовательных натуральных чисел не может быть простым числом. Обозначим первое из этих чисел -n . Тогда два следующих за ним числа запишутся n+1, n+2 . Запишем сумму этих трех чисел и преобразуем ее. Сначала раскрываем скобки, применяя сочетательный закон сложения. Затем приводим подобные члены. Вынося общий множитель — получаем результат. Полученное выражение — произведение двух множителей 3 и n+1. Поэтому оно не может быть простым числом ни при каких натуральных значениях n. Комментирование при решении задачи оказывает пользу. Услышав объяснение следующего этапа в задаче, даже недостаточно подготовленные учащиеся постараются выполнить его самостоятельно.
Индивидуальное решение задач.
При проведении фронтальной работы все учащиеся решают одну и ту же задачу. Для некоторых из них эта задача может быть очень легкой, и они при решении такой задачи не приобретут новых знаний. А для некоторых задача может быть трудной. Вот поэтому необходимо учитывать индивидуальные особенности учащихся и индивидуально подбирать и систематизировать задачи так, чтобы учитывались возможности и способности ученика. Задачей учителя является выяснить уровень подготовки, возможности и способности каждого ученика. Можно подбирать задачи для отдельных групп школьников класса. При такой организации обучения слабые ученики, не хотят выглядеть хуже всех, стараются, обретают веру в свои силы. А сильных учеников появится возможность совершенствовать свои способности. Огромное значение имеют самостоятельные работы учеников по устранению пробелов знаний. Пробелы можно выявить выполнением проверочных и контрольных и индивидуальных работ. Необходимо ученикам указать в тетрадях допущенные ошибки. Сильным ученикам достаточно сказать о неверности результата. Некоторым ученикам будет полезным подчеркнуть, а слабо подготовленным исправить ошибки. Задачи необходимо подбирать, учитывая причин, вызвавших ошибку. Одну и ту же ошибку можно допустить по различным причинам, а устранять надо причину, породившую эту ошибку. При такой организации решения задач больше пользы, чем при фронтальной работе над ошибками. Цель домашнего задания — дальнейшее совершенствование математических знаний, умений и навыков и закрепление, повторение пройденного на уроке. Учитель дает указания по решению домашних задач, но должны остаться трудности для преодоления дома. Учитывая индивидуальные особенности учащихся, можно индивидуализировать домашние задания. Ученики индивидуальные задания решают с большим желанием. Такие задания заранее нужно подготовить на специальных карточках.
2.6. Моделирование в методике решения текстовых задач
В школьных учебниках, к большому сожалению, нет целостной системы в обучении методике решения текстовых задач. В основном, учащиеся знакомятся с алгоритмами решения уравнений, неравенств, а также их систем. Предлагаются простые текстовые задачи — с одним или двумя условиями. При этом упускается из вида главная задача в обучении математике – развитие логического мышления, которая предполагает умение учащихся оперировать с логическими цепочками умозаключений. Кроме этого страдает и практическая цель в обучении математике – научить школьников решать задачи из повседневной жизни, что связано с умением составить математическое описание модели. В старой русской – церковно-приходской, гимназиях, реальных училищах очень много времени отводилось разнообразным задачам, почерпнутым из жизни крестьян, купцов и другие. При этом основное внимание уделялось арифметическому способу решения задач, без помощи составления уравнений, который сейчас называется методом прямых рассуждений – мощному средству развития логического мышления. К сожалению, после начальных классов учащиеся перестают решать задачи с помощью прямых рассуждений и переключаются на алгебраические методы, которые из-за постепенно усложняемого аппарата ограничивают текстовый задачный материал одним – двумя условиями. По — настоящему язык алгебры получает преимущество после знакомства с алгоритмами решения квадратных уравнений в 8 классе, т.е. два года оказываются потерянными в плане развития логического мышления на сложных текстовых задачах с большим числом условий. Заметим, что гимназисты умели решать даже задачи, сводящиеся к квадратным уравнениям, без их составления, что трудно представить в наше время. Сейчас нет большого смысла возвращаться к этим довольно разнообразным способам решения задач, но некоторые приемы могут оказаться полезными в плане быстрого и эффективного составления уравнений.
Первое место по частоте применения занимает понятие скорости сближения, которое оказывается очень полезным в задачах на «движение». Напомним, что к задачам на «движение» относятся многие задачи на производительность, на бассейны и т.п. Интересно заметить, что хотя с понятием скорости сближения учащиеся знакомятся еще в начальных классах, но в следующих классах они забывают об этом, так как в задачах на составление уравнений из учебников не возникает необходимости в использовании этого понятия. В этом случае необходимо их заново познакомить с этим понятием на примере двух случаев одновременного движения: а) встречного движения; б) движения в одном направлении. Выражение для времени, когда два движущихся объекта со скоростью и после начала движения оказываются в одной точке, содержат в знаменателе сумму или разность скоростей и , называемую скоростью сближения или (случаи а) и б) на рис. 2). Всегда полезно давать и арифметическое толкование скорости сближения – это арифметическая сумма или разность расстояний, пройденных обоими объектами в единицу времени.
Рис.2
В любой текстовой задаче на «движение» всегда целесообразно дать рисунок. Иногда детализация рисунка помогает ввести вспомогательную переменную, которую потом уже нетрудно исключить из полной системы уравнений. Желательно, особенно в 9 классе, когда изучается физическая механика, вводить «физические» обозначения неизвестных: S– расстояние, v, U– скорости, t – время, V– объем, m,M– масса. В любом случае первой неизвестной должна быть та величина, которую требуется определить. Иногда полезным оказывается введение промежуточной переменной k=v ⁄U, являющейся отношением подобных величин, например – скоростей. Такой прием оказывается эффективным и в чисто алгебраическом плане: подбирается такая комбинация уравнений из составленной системы, которая приводит к однородному уравнению с двумя неизвестными.
Например, система уравнений с двумя неизвестными

решается очень громоздко, если одну из двух переменных выразить через другую с последующей подстановкой. Но, заметим, левые части однородны по ; если положить , то сразу получаем после сокращения на несложное уравнение по k:

Всегда полезно напоминать учащимся, что при одновременном движении пройденные расстояния прямо пропорциональны скоростям: . А при движении на одно расстояние – времена обратно пропорциональны скоростям: . При анализе условия задачи небходимо сразу выделять стандартные ситуации.
Например, одновременное движение, движение на одно расстояние, движение по течению или против течения реки.
Кроме этого учащиеся должны четко представлять, как от процентного содержания перейти к абсолютному содержанию чистого вещества и обратно. Пусть, например, вещества с массами m и M и с процентным содержанием чистого вещества х и у, соответственно, смешиваются, тогда новое количество вещества m + M будет новое процентное содержание, равное . Наконец, желательно познакомить учащихся с такой типовой задачей, имеющей приложения в химии, биологии, экономике и других областях: начальное число увеличивается каждый раз на 30 %, чему будет равно число после десятикратного увеличения? Чаще и ошибочно рассуждают, что к моменту десятикратного увеличения прирост составит 300% и число увеличится в 4 раза. На самом деле правильный ответ: , т.е. увеличится в 13 раз!
Приемы моделирования в процессе решения текстовых задач.
Задача 8. Расстояние между двумя городами скорый поезд проходит на 4ч быстрее товарного и на 1ч быстрее пассажирского. Найдите скорости товарного и скорого поездов, если известно, что скорость товарного составляет 0,625 от скорости пассажирского и на 50 км/ч меньше скорости скорого.
Решение. Товарный поезд пройдет 0,625=5/8 всего пути за время движения пассажирского поезда на всем пути. Тогда оставшуюся часть пути 3/8 товарный поезд проедет за время часа (первое условие задачи). Отсюда ясно, что товарный поезд на весь путь затратит 3 ч /3/8=8 ч – в два раза больше скорого (8 ч — 4 ч – время скорого поезда). Значит, скорость товарного меньше в два раза скорости скорого, которые по третьему условию задачи различаются на 50 км/ч. Следовательно, скорый поезд имеет скорость 100 км/ч, товарный – 50 км/ч, пассажирский – 8/5 км/ч.
Ответ: 50 км/ч; 100 км/ч.
II вариант решения.
Обозначим скорость товарного поезда через v(км/ч), тогда скорости пассажирского и скорого поезда будут равны 8⁄ 5v и v + 50,соответственно. Положим расстояние между двумя городами равным S км. Первое условие задачи дает уравнение:
1)
Второе условие приводит к соотношению:
2)
По условию задачи достаточно найти скорости, поэтому следует подобрать такую комбинацию уравнений 1) и 2), которая позволила бы исключить расстояние:
3)

= 50 км/ч.
Задача 8. Три цистерны одинокого объема начинают одновременно заполняться водой, причем в первую цистерну поступает л воды в минуту, во вторую — и в третью — Известно, что в начальный момент времени первая цистерна пуста, вторая и третья частично заполнены и что все три цистерны будут заполнены одновременно. Во сколько раз количество воды в начальный момент времени во второй цистерне больше, чем в третьей?
Решение. Исходные данные удобно представить в виде следующей таблицы:
1 цистерна 2 цистерна 3 цистерна
100 л/ мин 60 л/ мин 80 л/ мин
0
V V V
Где через обозначили – скорость подачи воды, объем цистерны, начальный объем, конечный объем, объемы воды во 2-й и 3-й цистернах в начальный момент времени соответственно. По условию задачи достаточно найти отношение . Так как вода подавалась одновременно, то время t заполнения всех трех цистерн будет одинаковым. Тогда можно составить систему трех уравнений:

из которой следует найти отношение
Ответ: в 2 раза.
II вариант решения ( арифметический способ).
1. Какая часть второй цистерны будет долита? – Так как первая и вторая цистерны имеют одинаковые объемы, и первая цистерна была пуста , то во вторую цистерну было долито 60⁄100 = 3 ⁄5 её объема (пропорциональность «пройденных» путей двумя объектами их скоростям при одновременном «движении»).л
2. Аналогично отвечаем на вопрос: Какая часть третьей цистерны была долита?80 ⁄100 =4 ⁄5
3. Какие части второй и третьей цистерн были заполнены первоначально? 1- 3 ⁄5 = 2⁄5 и 1- 4 ⁄5 = 1 ⁄5 соответственно.
4. Во сколько раз первоначальный объем воды во второй цистерне был больше, чем в первой? 2 ⁄5 : 1 ⁄5 = 2.
2.7. Классификация текстовых задач по сюжету
В курсе школьной математики особую роль занимают сюжетные задачи. Сюжетные задачи — это задачи, в которых описывается некоторый жизненный сюжет. Сюжетные задачи считаются древними задачами. При решении таких задач впервые реализуется обучение методу моделирования.
Моделирование является одной из важнейших задач математики.
Моделирование — это описание реальных действий на языке математики.
В школьном курсе задачи на движение, работу, смеси, проценты являются сюжетными задачами. Чтобы решить такие задачи, важно правильно воспринимать ситуации, и опираться на образ. Не существует обобщенного способа решения сюжетных задач.
Приводим пример сюжетной задачи.
Задача 9. Имеется два сплава золота и серебра. В одном эти металлы находятся в отношении 2:3 , в другом3:7 . Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 8 кг нового сплава, в котором эти металлы были бы в отношении 5:11?
Решение:
1 способ: 2 + 3 = 5 (частей) – всего в 1 сплаве
3+7 =10 (частей) – всего во 2 сплаве
5+11=16 (частей) – всего в 3 сплаве

2 способ :

x= 1, значит, от первого сплава взяли 1 кг, от второго
8 — x= 8 — 1 = 7 (кг)
Учителю необходимо изучать текстовые задачи по классам. Рассмотреть методы, этапы решения этих задач.
2.8. Текстовые задачи в составе ЕГЭ
Математика проникает во все области деятельности человека. И одним из первых был включен и в итоговую аттестацию в форме Единого Государственного Экзамена (ЕГЭ), где особое внимание уделяется текстовым задачам.
При решении задач надо производить не большое математическое исследование, которое проверяет нашу сообразительность и способность к логическому мышлению. Умение решать этих задач позволяет проверить у выпускников наличие логического мышления, сообразительности и наблюдательности и способности к анализу полученных результатов. Таким образом, цель выпускника состоит в том, чтобы научиться решать подобного рода задачи и прочно усвоить различные методы, применяемые в процессе их решения.
Рассмотрим методику использования текстовых задач, предлагаемых в составе ЕГЭ.
Решение любой текстовой задачи складывается из трех основных моментов:
1) удачного выбора неизвестных;
2) составление уравнения и формализации того, что требуется найти;
3) решение полученного уравнения.
При решении текстовых задач могут помочь несколько советов. Первое прочтение задачи ознакомительное. Надо попытаться получить информацию и представить в другом виде – это может быть рисунок, таблица или просто краткая запись условия задачи. При решении задач короткую запись задачи можно сделать с помощью рисунка или таблицы. Таблица является универсальным средством и позволяет решать большое количество идейно близких задач.
Второе прочтение имеет своей целью выбор неизвестных, при этом не обращаем внимание на числа и «мелочи». Главное, чтобы неизвестные соответствовали условию задачи, при составлении соответствующей “математической модели” (уравнение, неравенство, система уравнений или неравенств). При третьем прочтении задачи следует ее условие расчленить на логические части и «посплетничать». Необходимо следить за тем, что соответствует каждой фразе текста задачи в полученной математической записи и чему в тексте задачи соответствует каждый “знак” полученной записи (сами неизвестные, действия над ними, полученные уравнения, неравенства или их системы).
Очень важно не только составить уравнение, неравенство, систему уравнений или неравенств, но и решить составленное. Если решение задачи не получается, то нужно ещё раз прочитать и проанализировать задачу (заданный текст и полученную запись). Иногда по условию задачи
достаточно отыскать не сами неизвестные, а их комбинации. Например, не х и у , а х + у , х ⁄ у , 1 ⁄х и т.п.
Можно выделить вопросы, которые помогут решить задач разных типов.
1) О каком процессе идёт речь? Какими величинами характеризуется этот процесс? (Количество величин соответствует числу столбцов таблицы).
2) Сколько процессов в задаче? (Количество процессов соответствует числу строк в таблице).
3) Какие величины известны? Что надо найти? (Таблица заполняется данными задачи; ставится знак вопроса).
4) Как связаны величины в задаче? (Вписать основные формулы, выяснить связи и соотношения величин в таблице).
5) Какую величину (величины) удобно выбрать в качестве неизвестной или неизвестных? (Клетки в таблице заполняются в соответствии с выбранными неизвестными).
6) Какие условия используются для составления “модели”? (Выписать полученную “модель”).
Примеры задач из ЕГЭ приведены в элективном курсе «Решение текстовых задач» (см. Приложение 2).
2.9. Связь с другими предметами
С целью повышения активности и интереса и понимания учеников к решению текстовых задач, задачи можно связать с другими школьными предметами. Одним из примеров является предмет информатики. Это использование презентаций по теме, нарисовать чертеж. Математику можно связать и с химией, физикой, географией и др. .Задача 10. Смешали 4 литра 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25-процентного водного раствора того же вещества. Сколько процентов составляет концентрация
полученного раствора?
Решение
Итак, у нас есть три вещества:
1)4 литра 15-процентного раствора;
2)6 литров 25-процентного раствора;
3)Третий раствор с неизвестной концентрацией.
Составим таблицу:
Общая масса ,кг. Масса чистого вещества, кг.
Раствор 1 (15 %) 4 0,15*4= 0,6
Раствор 2 (25 %) 6 0,25 * 6=1,5
Раствор 3 х у
По условию, нам не дана ни масса нового раствора, ни масса чистого вещества в нем. Поэтому обозначим общую массу x, а массу основного вещества y.
Поскольку при смешивании все массы складываются, получаем уравнения:

В задаче требуется найти концентрацию нового раствора. Чтобы найти ее, разделим массу чистого вещества на общую массу раствора:
y : x = 2,1 : 10 = 0,21
Итак, доля чистого вещества равна 0,21. Чтобы перевести долю в проценты, умножим на сто:
0,21 · 100 = 21
Ответ:21
В этой задаче видна связь между предметами математика и химия.
Введение экологических вопросов в математику требует от учителя новых знаний, изменения методики преподавания. Необходимо учитывать реальные, местные данные, применяя которых можно вести экологическое воспитание.
Предлагаю несколько примеров задач, которых можно использовать на уроках математики:
Задача 11. Определите, какое из деревьев, растущих на наших улицах, является лучшим “пылесосом”:
Берёза – 28 Сосна –17 Тополь – 23.
Для этого нужно решить пример:
После получения ответа можно выяснить, почему тополь является лучшим “пылесосом”.
Задача 12. Определите, какой город России “мусорными делами” прославился.
Чебоксары – 2085
Москва – 2185
Казань – 2065
Для этого решите пример:
Решив пример, ученики выясняют, что это город Чебоксары. А вот какими “мусорными делами” прославился и почему, они выясняют самостоятельно дома.
Задача 13. В России под отходы занято 250 тыс. га земельных угодий, что составляет 0,5% всей площади. Какова площадь земельных угодий в России?
Какое значение играет природа в жизни человека? Хотя люди знают, что нельзя разрушать природу, а зачем же они, это делают? О чем бы ты написал в сочинении «Природа и здоровье человека»?
Если бы ты был архитектором города, то построил бы школу около большой автотрассы? Как ты считаешь, какие меры необходимо предпринимать по предотвращению разрушения экологии? Что ты знаешь о влиянии выброса вредных веществ на здоровье человека?
Задача 14. Для наблюдения за состоянием атмосферы метеорологи иногда поднимаются на воздушном шаре. Сколько квадратных метров материала пойдет на изготовление оболочки воздушного шара диаметром 10 м, если на швы надо добавить 5% поверхности шара? Особую тревогу метеорологов вызывают кислотные дожди. Из-за чего такие дожди происходят?
Задача 15. Дно бассейна желают выложить равными керамическими плитками, имеющими форму равносторонних треугольников, квадратов и шестиугольников, имеющих равные стороны. Каким видом этих фигур можно воспользоваться для этой цели? В бассейне каждые 10 дней проводят дезинфекцию. Зачем нужна это процедура?
Задача 16. Салат из одуванчиков имеет массу 200 г. Узнайте массу каждого компонента, если петрушки в 1,7 раза больше, чем масла, а зеленого лука в 2,4 раза больше, чем петрушки. Кто знает, когда и как собирать цветки или корни одуванчика? (Одуванчик лекарственный содержит минеральные соли, витамины группы В, органические кислоты и смолы; используется для улучшения пищеварения, снимает спазмы).

Заключение
Решение текстовых задач развивает способность угадывать заранее результат, искать правильный путь в запутанных условиях. Хотя и изучение математики требует большого и упорного труда, но оно приносит так много пользы и преодоления трудностей.
Использование исторических задач и разнообразных старинных способов их решения обогащают опыт мыслительной деятельности учащихся.
При подготовке к ЕГЭ огромную роль играет умение решать текстовые задачи рассмотренными нами способами. Данные способы решения текстовых задач приучают учащихся к первым абстракциям, позволяют воспитывать логическую культуру, могут способствовать созданию благоприятного эмоционального фона обучения, развитию у школьников эстетического чувства применительно к решению задачи и изучению математики, вызывая интерес сначала к процессу поиска решения задачи, а потом и к изучаемому. В практике используются разные способы решения задач.
Решение текстовых задач могут способствовать созданию благоприятного эмоционального фона обучения, развитию у школьников эстетического чувства применительно к решению задачи и изучению математики, вызывая интерес сначала к процессу поиска решения задачи, а потом и к изучаемому предмету. Выработать умения разделять задачи на составные части, использовать различные методы решения, применять приемы, помогающие понять задачу, составить план решения, выполнить его, проверить решение, уметь выполнять каждый из этапов решения. Результатом квалификационной работы является раскрытие методики обучения решению текстовых задач:
— решение текстовых задач рассматривается как обязательный итог изучения тем школьного курса математики; — следует обучать школьников переводу текста задачи на язык алгебры. Необходимо учить выявлять связи и зависимости между величинами (данными и искомыми), формировать у учащихся аналитико-синтетическую деятельность. — работу по формированию умения решать текстовые задачи необходимо начинать с рассмотрения методов решения простых задач; — целесообразно рассмотрение решение одной и той же задачи разными методами; — в конце обучения необходимо провести систематизацию и обобщение данной темы (рассмотреть классификации задач, как по методам решения, так и по содержанию); — полезно применять такие формы учебной работы как составление текстовых задач, составление взаимно-обратных задач самими учащимися. Творческая работа, направленная на составление задачи и ее решения, приводит к более осознанному пониманию зависимости между величинами, дает осознание, что числа берутся непроизвольно: некоторые задаются, а другие получаются на основе выбранных. — использование алгоритмов, таблиц, рисунков, схем, общих приемов дает возможность ликвидировать у большей части учащихся страх перед текстовой задачей, научить распознавать типы задач и правильно выбирать прием решения. Табличная форма записи условия и требования текстовых задач эффектное средство обучения учащихся решению текстовых задач алгебраическим способом. Для сложных задач нужно использовать и другие, более «гибкие» модели поиска решения текстовых задач. При решении простых задач необходимо выявить и отработать общую схему решения. Это облегчит решение более сложных задач.
— необходимо формировать у учащихся приемы самоконтроля при решении текстовых задач.
— для формирования положительной мотивации, познавательного интереса у учащихся широко использовать внутрипредметные и межпредметные связи.
Если руководствоваться данными методическими рекомендациями, то можно повысить эффективность обучения решению текстовых задач.
По результатам работы разработан элективный курс «Решение текстовых задач» для 9-11 классов.

Список литературы
1. Н.Л. Стефанова. Методика и технология обучения математике. – М.: 2012г.
2. А.Г. Мордкович и другие. Алгебра 9 класс. 2015г
3. А.Л. Семенов ЕГЭ 2015. Математика. Самое полное издание типовых вариантов. 2015г.
4. Ю.Н. Макарычев и др. 8 класс. Учебник. М.: 2015
5. Виноградов Методика преподавания математики в средней школе – Ростов н/Д:2005г.
6. М.Л. Галицкий Сборник задач по алгебре: учебное пособие для 8-9 кл. с углубленным изучением математики – М: Просвещение, 2003г.
7. Л.М. Фридман Сюжетные задачи по математике. История, теория, методика. – М.: Школа-пресс,2002г.
8. Литвинова И.Н., Ткаченко Е.Н., Гаврилова М.А. Задачи на смеси, сплавы и проценты. Учебно-методическое пособие.- Пенза, ПГПУ, 2009 г.
9. Мельник Н.В. Развитие логического мышления при изучении математики.// М.: «Просвещение», 2010 г. – с. 21.
10. «Алгебра. Сборник заданий для подготовки к ОГЭ в 9классе», М. Просвещение.2015г.
11. Шевкин А.В, Текстовые задачи в школьном курсе математики (5-9-е классы). Математика. 2005, №17-24
12. М.А. Куканов Математика 9-11 классы: моделирование в решении задач. – Волгоград: Учитель, 2012. – 168с.
13.Решение текстовых задач. http://school-collection.edu.ru/catalog/res/d92c7ae3-a9f1-4ff3-afb0-e1f1783fee48/?from=8f5d7210-86a6-11da-a72b-0800200c9a66&.

ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1

Приложение 2
Структура умений решать текстовых задач
Умения Операционный состав умений
Умения анализировать задачу — проводить первичный анализ текста (преставление задачной ситуации, выеление и требования, опорных слов);
— выделять известные, неизвестные, искомые величины;
— устанавливать связи между данными и искомыми;
— конструировать модели задачной ситуации (предметные, схематические, графические) и соотносить элементы задачи с элементами модели;
— устанавливать полноту данных задачи (достаточность, недостаточность, избыточность);
— узнавать типы задач.
Умение проводить поиск плана решения задачи — раскладывать составную задачу на простые;
— переводить зависимость данных и искомых на математический язык;
— выбирать рациональные способы решения задач;
— проводить рассуждения аналитическим и синтетическим способом;
— активизировать необходимые для решения задачи
теоритические знания.
Умение реализовать найденный план решения задачи. — устанавливать адекватность построенной математической модели исходной задаче.
— рационально выбирать математические связи между величинами;
— устанавливать соответствие промежуточных и конечного результатов;
— оформлять решение.
Умение осуществлять контроль и коррекцию решения. — определять соответствие полученных результатов исходной задаче;
— выполнять проверку решения разными способами;
— находить другие способы решения задачи;
— оценивать полученные при решении результаты;
— обобщить результаты решения.

Приложение 3
Элективный курс «Решение текстовых задач»
Пояснительная записка
В течение обучения с 1 по 9 класс формируются знания, необходимые для решения всех типов текстовых задач. Представленный элективный курс «Решение текстовых задач» рассчитан для учащихся 9-11 классов средней общеобразовательной школы, с целью расширить и углубить их знания по математике, помочь в выборе профиля обучения в старших классах и при подготовке к ЕГЭ. Курс поможет систематизировать знания по решению текстовых задач, полученные на уроках математики и ознакомит с новыми методами их решения, которые не включены в школьную программу.
Данный курс рассчитан на 19 часов. Планируемые формы организации работы – лекции, практикумы по решению задач и коллективная работа учащихся. Результат изучения элективного курса — освоение учащимися содержания курса: овладение хорошими умениями и навыками решения текстовых задач.
Цели и задачи курса:
-формирование глубокого интереса к предмету математика;
-интеллектуальное развитие учащихся, формирование и развитие мышления;
-выявление и развитие у некоторых учащихся математических способностей;
-овладение знаниями, необходимыми для решения практико-ориентированных задач;
-применение математических знаний в практической деятельности;
В программу курса включены углубляющие и развивающие задания, учитывая требования ФГОС.
Учебно-тематическое планирование
тема Количество часов Форма организ. занятий
1 История текстовых задач и их решения 1 лекция
2 Решение задач на проценты 3 Практикум
3 Решение задач на смеси и сплавы 3 Практикум
4 Решение задач на движение 3 Практикум
5 Решение задач на работу 3 Практикум
6 Решение задач с экологическим содержанием 3 Практикум
7 Решение задач из ЕГЭ 2 Практикум, коллективная работа.
8 Итоговое занятие 1 Контрольная работа
Методические рекомендации
Представленный элективный курс содержит 8 тем. Первая тема вводная «История текстовые задач и их решения». При ее раскрытии акцентируется выделение основных этапов решения текстовых задач и их назначение. Следующие темы — «Задачи на проценты», «Задачи на смеси и сплавы», «Задачи на движение», «Задачи на работу» и «Задачи с экологическим содержанием» так же «Задачи из ЕГЭ» — закрепляют и дополняют знания учащихся, полученные на уроках. В них также изучаются старинные, сюжетные задачи и задачи с нестандартными способами решения. Они выходит за рамки школьной программы и значительно совершенствует навыки учащихся в решении текстовых задач. Во время практикумов следует обратить внимание нате способы и приемы решения задач на проценты, смеси и сплавы, движение, работу, которые приведены в настоящей работе. Необходимо познакомить учащихся со старинными задачами, с сюжетными задачами, с задачами с литературным сюжетом, и задачами экологическим содержанием, а также с нестандартными методами решения сюжетных задач.

Приложение 4
Задачи на проценты
Задача 1. Цену товара снизили на 30 %, затем новую цену повысили на30 %. Как изменилась цена товара?
Решение.
Пусть первоначальная цена товара а, тогда:
a — 0,3*a = 0,7*a — цена товара после снижения,
0,7*a + 0,7*a *0,3 = 0,91*a — новая цена.
1,00-0,91 =0,09 или 9% .
Используя формулу (*) , получим :2 2 a(1- (0,01*p) ) = a ( 1 — 0,3 ) = 0,91*a
Ответ: цена снизилась на 9%.
Задача 2.Цену товара повысили на 20 %, затем новую цену снизили на20 %. Как изменится цена товара?
Ответ: цена снизилась на 4 %.
Задача 3. Решить задачу в общем виде.
Увеличили число a на p %. На сколько процентов надо уменьшить
полученное число, чтобы получить a ?Решение:
a(1 + 0,01 p) — a(1 + 0,01 p) 001 x = a
a(1 + 0,01 p) (1 -0,01 x)= a

Задача 4. После снижения цен на 5% стоимость одного метра ткани
стала равна 380 рублей. Сколько стоил один метр ткани до снижения цены?
Решение:
Эту задачу удобно решить, составив пропорцию:
x руб — 100%
380 руб — 95%

Ответ: До снижения цена 1 метра ткани составляла 400 рублей.
Задача 5. Цена на бензин в первом квартале увеличилась на 20% , а во втором — на 30%. На сколько процентов увеличилась цена на бензин за два квартала?
Решение:
Так как проценты находятся от величины, полученной после начисления процентов, то можно применить формулу сложных процентов.
Пусть цена бензина была x , тогда
b= x(1 + 0,2) (1 + 0,3) = 1,56 x
1,56 x- x= 0,56 x
Ответ: на 56%.
Задача 6. Предприятие работало два года. В первый год выработка возросла на 1 p %, во второй на 10% больше, чем в первый. Определить на сколько процентов увеличилась выработка за второй год, если за два года она увеличилась на 48,59 %.
Решение:

Ответ: за второй год выработка увеличилась на 27%.
Задача 7. Производительность труда на заводе снизилась на 20%. . Насколько процентов надо ее теперь повысить, чтобы достигнуть первоначальной?
Решение :Пусть х – первоначальная производительность,
р – процентные повышения,
x — 0,2*x= 0,8*x – производительность после понижения,
0,8* x + 0,8*x * 0,01*p – после повышения,
По условию
0,8 x + 0,8 x 0,01 p=x,
p= 25.
Ответ: на 25 %.
Задачи на сплавы и смеси
Задача 8. Сколько граммов воды надо добавить к 50 г раствора, содержащего 8% соли, чтобы получить 5% раствор?
Решение:
Пусть x — количество воды, которое надо добавить. Новое количество раствора — (50+x) г. Количество соли в исходном растворе 500,08 г.
Количество соли в новом растворе составляет 5% от (50+x) г, т. е. 0,05(50+ x)
Так как количество соли от добавления воды не изменилось, то оно одинаково в исходном и новом растворах. Получаем уравнение. Иногда в химии это уравнение называют кратко «баланс по соли».
50* 0,08 = 0,05(50+x),
50 *8 = 5(50+x),
80 = 50+x,
x= 30.
Ответ: 30 г.
Задача 9. Сколько граммов 30%-го раствора надо добавить к 80 г 12% -го раствора этой же соли, чтобы получить 20% -й раствор соли?
Решение:
Пусть надо добавить x г 30% раствора соли. Получится (80 + x) г 20%раствора.
В 80 г 12% раствора содержится 80*0,12 г соли , 0,3 x г соли — в x г
30% раствора, 0,2(80 + x) г соли — в (80 + x) г20% раствора.
Получаем уравнение:
0,3x + 0,12*80 = 0,2(80 + x) — это и есть «баланс по соли».
0,3 x + 9,6=16 + 0,2 x,
0,3 x — 0,2 x = 16 — 9,6,
0,1 x= 6,4,
x= 64.
Ответ: 64 г.
Задача 10. Имеется два сплава, в одном из которых содержится 40% , а в другом 20% серебра. Сколько кг второго слава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы после сплавления вместе получить сплав, содержащий 32% серебра?
Решение (с помощью уравнения):
Пусть к 20 кг первого сплава нужно добавить x кг второго сплава.
Тогда получим (20+x) кг нового сплава. В 20 кг первого сплава содержится
0,4*20 = 8 (кг) серебра, а в (20+x) кг нового сплава содержится
0, 32(20+ x) кг серебра. Составим уравнение:
8+0,2 = 0,32(20+ x), x =131/3 .
Ответ: 131/3 кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы получить сплав, содержащий 32%серебра.
Задача 11. Даны два куска с различным содержанием олова. Первый, массой 300 г, содержит 20% олова. Второй, массой 200 г, содержит 40% олова. Сколько процентов олова будет содержать сплав, полученный из этих кусков.
Ответ: 28% .
Задача 12. Сплав олова с медью весом 12 кг содержит 45% меди.
Сколько чистого олова надо добавить, чтобы получить сплав, содержащий 40% меди.
Решение:
сплав олово 2 сплав
Масса сплава 2 кг. х 12 + х
% содержание меди % 40 %
% содержания олова % 100% 60 %
Масса олова 2*0,55=6,6 х (12 + х)*0,6
х (12+х)*0,6
6,6 + x= (12+x) 0,6
6,6 + x= 7,2 +0,6 x
0,4 x = 0,6
x= 1,5
Ответ: 1,5 кг олова нужно добавить
Задача 13. Имеется два сплава золота и серебра. В одном эти металлы находятся в отношении 2:3 , в другом3:7 . Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 8 кг нового сплава, в котором эти металлы были бы в отношении 5:11?
Решение:
1 способ : 2 + 3 = 5 (частей ) – всего в 1 сплаве
3+7 =10 (частей) – всего во 2 сплаве
5+11=16 (частей) – всего в 3 сплаве
I II Новый
Сплав х -х 8
Золото 2/5 3/10 5/16
Масса 2/5 х 1/3(8-х) 5/16*8

2 способ :Сплав Масса взятого сплава, кг. М золото, кг. М серебра, кг.
I Х 2/5х = 0,4х 3/5х=0,6х
II 8-х (3(8-х))/(0,3(8-х))=10 (7(8-х))/(0,7(8-х))=10
новый 8
x= 1, значит, от первого сплава взяли 1 кг, от второго 8 — x= 8 — 1 = 7 (кг)
Задачи на движение
Задача 14. В данный момент расстояние между двумя таксистами 345 км. На каком расстоянии будут находиться таксисты через два часа, если скорость одного 72 км /ч., а другого -68 км /ч., и они выезжают навстречу друг другу одновременно?
Первый способ решения.
1) 72+68=140 (км /ч.) – скорость сближения таксистов.
2) 140*2=280 (км) – на такое расстояние таксисты приблизятся друг к другу за 2 часа.
3) 345-280 =65 (км) – на таком расстоянии будут таксисты через 2 часа.
Ответ: 65 км.
Второй способ решения.
1)72*2=144 (км) – такое расстояние проедет один таксист за 2 часа.
2) 68*2=136 (км) – такое расстояние проедет другой таксист за 2 часа.
3) 144+136=280 (км) – на такое расстояние таксисты приблизятся друг к другу за 2 часа.
4) 345-280=65 (км) – на таком расстоянии будут таксисты через 2 часа. Ответ: 65 км.
Задача 15. Расстояние между городами А и В 720км. Из А в В вышел скорый поезд со скоростью 80 км /ч. Через 2 часа навстречу ему из В в А вышел пассажирский поезд со скоростью 60 км /ч. Через сколько часов после выхода пассажирского поезда эти поезда встретятся?
Решение.
1) 80 * 2 = 160(км) -прошёл скорый поезд за 2 часа.
2) 720- 160 = 560(км) -осталось пройти поездам.
3) 80 + 60 = 140(км/ч) -скорость сближения 2 поездов.
4)560: 140 = 4 (ч) -был в пути пассажирский поезд.
Ответ: 4часа.
Задача 16. Лодка шла по течению реки 2,4 ч и против течения 3,2 ч. Путь, пройденный лодкой по течению, оказался на 13,2 км длиннее пути, пройденного против течения. Найти скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 3,5 км/ч.
Решение: Задача на движение по течению и против течения реки, поэтому прежде всего определим из чего складывается скорость по течению и скорость против течения реки ( скорость в стоячей воде и скорость течения). Скорость в стоячей воде неизвестна.
х км/ч скорость в стоячей воде
3,5 км/ч скорость течения.
Заполним таблицу:
Время
(ч) Скорость (км/ч) Расстояние(км) По течению 2,4 Х+3,5 2,4*(х+3,5) На 13,2 км. больше
Против течения 3,2 Х-3,5 3,2*(х-3,5) Чему равна скорость лодки в стоячей воде?
Составим уравнение

Ответ: 8 км/ч
Задачи на работу
Задача 17. Заказ на 100 деталей первый рабочий выполняет на 1час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 1деталь больше? В колонке «работа» и для первого, и для второго рабочего запишем:100. В задаче спрашивается, сколько деталей в час делает второй рабочий, то есть какова его производительность. Примем ее за х. Тогда производительность первого рабочего равна х+1 (он делает на одну деталь в час больше).t=A/p , время работы первого рабочего равно время работы второго рабочего равно
P t A
Первый рабочий х+1 110
Второй рабочий х 110
Первый рабочий выполнил заказ на час быстрее. Следовательно, t1
На 1 меньше, чем t 2, то есть

Дискриминант равен 441. Корни уравнения: х1=10, х2=-10.
Очевидно, производительность рабочего не может быть отрицательной-
Ведь он производит детали, а не уничтожает их. Значит, отрицательный корень не подходит. Ответ: 10.
Задача 18. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй — за три дня? А что же обозначить за переменные? За переменную х удобно обозначить производительность. Пусть х — производительность первого рабочего. Но тогда производительность второго нам тоже понадобится, и ее мы обозначим за у . По условию, первый рабочий за два дня делает такую же часть работы, какую второй — за три дня. Значит 2*х=3*у. Отсюда у=2/3х. Работая вместе, эти двое сделали всю работу за 12 дней. При совместной работе производительности складываются, значит,

Итак, первый рабочий за день выполняет 1/20 всей работы. Значит, на всю работу ему понадобится 20 дней. Ответ: 20 .
Задачи в составе ЕГЭ
Задача 19. В первой смене летнего лагеря отдыхали 550 школьников. Во второй смене число мальчиков сократилось на 4%, а число девочек увеличилось на 4%. Всего же во второй смене отдыхало 552 школьника. Сколько мальчиков отдыхало в первой смене?
Решение:
Пусть было х мальчиков, тогда стало (х-0,04)чел. Девочек было(550-х) чел., а стало (550-х) + 0,04*(550-х)= (572-1,04*х)чел. х-0,04*х+572-1,04*х=552
х=250
Ответ: 250 мальчиков.
Задача 20. Колхоз обычно засевал пшеницей и ячменем 125 га угодий. После увеличения площади посевов пшеницы на 10% и уменьшения площади посева ячменя на 8% занимаемая ими площадь стала равной 124 га. Какова была первоначальная площадь пшеничного поля?
Решение:
Пусть было засеяно х га пшеницы, тогда 1,1 га стало. Ячменя было (125-х)га, а стало (125-х)-0,08* (125-х)= (115-0,92*х)га.
1,1*х+115-0,92*х=124
х=50
Ответ: Первоначальная площадь пшеничного поля 50 га
Задача 21. Две фракции областной думы объединяли 60 депутатов. При раздельном голосовании по законопроекту проголосовали «против» 15% членов первой фракции и 10% — второй, а поддержали законопроект 52 депутата этих фракций. Сколько депутатов входит в первую фракцию?
Решение:
Пусть х депутатов в I фракции, тогда во II фракции (х-60) депутатов. Проголосовали «против» 0,15х депутатов из первой фракции и 0,1*(60-х) депутатов из второй фракции. Поддержали законопроект 0,85х депутатов из первой фракции и (54-0,9*х) депутатов из второй фракции.
0,85*х+54-0,9*х=52
х=40.
Ответ: 40 депутатов.
Старинные задачи
Задача 22. Скажи мне, знаменитый Пифагор, сколько учеников посещают твою школу, слушают твои беседы?
-Вот сколько, — ответил Пифагор, — 50% изучает математику, 25% — природу, седьмая часть проводит время в размышлении, и, кроме того, есть еще 3 женщины.
Решение:
Пусть х чел. посещают лекции; 50% от х чел.( ½х) изучают математику; 25% от х чел. (1/4х) изучают природу; 1/7х чел. размышляют.
½х + 1/4х +1/7х +3= х
14х +7х+4х+84=28х
Х=28
Ответ: 28 человек.
Задача 23. Некто купил лошадь и, спустя некоторое время, продал ее за 24 пистоля. При этом он потерял столько %, сколько стоила сама лошадь. Спрашивается: за какую сумму он ее купил?
Решение:
За x пистолей – 100%
24 пистоля – (100-х)%
Х: 24=100: (100-х)
2400 = 100х — х2Х2 – 100х + 2400 = 0
D1= 2500 – 2400 = 100
Х1=50+10=60
Х2=50-10=40
Ответ: 60 и 40 пистолей.
Старинный способ решения
Задача 24. В каких пропорциях нужно сплавить золото 375-й пробы с золотом 750-й пробы, чтобы получить золото 500-й пробы?
Ответ: Нужно взять две части 375-й пробы и одну часть 750-й пробы.
Задача 25. При смешивании 5%-го раствора кислоты с 40%-м раствором кислоты получили 140г 30%-го раствора. Сколько граммов каждого раствора было для этого взято?
Друг под другом пишутся содержания кислот имеющихся растворов, слева от них и примерно посередине — содержание кислоты в растворе, который должен получиться после смешивания. Соединив написанные числа черточками, получим такую схему:

Рассмотрим пары 30 и 5;30 и 40.В каждой паре из большего числа вычтем меньшее, и результат запишем в конце соответствующей черточки.
Получится такая схема:

25 +10 = 35 (частей всего)
140 : 35 = 4 ( г) — приходится на 1 часть
4*25 = 100 (г) – 40%-го раствора
10 * 4 = 40 (г) – 30% — ного раствора
Правило креста или квадрат Пирсона
Задача 26. Морская вода содержит 5% соли (по массе). Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составила 1,5%?
Ответ: 7 килограммов.
Задачи с историческими сюжетами
Задача 27.Один небогатый римлянин взял в долг у заимодавца 50 сестерциев. Заимодавец поставил условие: «Ты вернешь мне в установленный срок 50 сестерциев и еще 20 % от этой суммы». Сколько сестерциев должен отдать небогатый римлянин заимодавцу, возвращая долг?
О т в е т: 60 сестерциев.
Задача 28.Некий человек взял в долг у ростовщика 100 рублей. Между ними было заключено соглашение о том, что должник обязан вернуть деньги
ровно через год, доплатив еще 80 % суммы долга, но через 6 месяцев должник решил вернуть долг. Сколько рублей он вернет ростовщику?
Ответ: 140 р.
Задачи с литературными сюжетами
Задача 29. В романе М. Е. Салтыкова-Щедрина «Господа Головлевы» есть такой эпизод: «Порфирий Владимирович сидит у себя в кабинете, исписывая цифирными выкладками листы бумаги. На этот раз его занимает вопрос: «Сколько было бы теперь у него денег, если бы маменька Арина Петровна подаренные ему при рождении дедушкой на зубок 100 рублей ассигнациями не присвоила бы себе, а положила бы в ломбард на имя малолетнего Порфирия? Выходит, однако, немного: всего 800 рублей ассигнациями». (Предположить, что Порфирию Владимировичу в момент счета было 53 года.) Сколько процентов в год платил ломбард?
Ответ: 4%.
Задача 30.В романе М. Е. Салтыкова-Щедрина «Господа Головлевы» сын Порфирия Владимировича Петя проиграл в карты казенные 3000 рублей и попросил у бабушки эти деньги взаймы. Он говорил:
«Я бы хороший процент дал. Пять процентов в месяц». Подсчитай¬ те, сколько денег готов вернуть Петя через 33год, согласись бабушка на его условия.
Ответ: 4800 рублей.
Задачи на смешение
Задача 31. У некоторого человека были продажные масла: одно ценою 10 гривен за ведро, другое же 6 гривен за ведро. Захотелось ему сделать из этих двух масел, смешав их, масло ценою 7 гривен за ведро. Какие части этих двух масел нужно взять, чтобы получить ведро масла стоимостью 7 гривен?
Решение: Друг над другом пишутся стоимости имеющихся масел, слева от них и примерно посередине — стоимость масла, которое должно получиться после смешения. Соединив записанные числа черточками, получим такую картину:
Меньшую цену вычтем из цены смешанного масла и результата поставим справа от большей цены. Затем из большей цены вычтем цену смешанного масла и запишем справа от меньшей цены. Получим такую картину:
Делается заключение, что дешевого масла нужно взять втрое больше, чем дорогого, т.е. для получения одного ведра масла ценою 7 гривен нужно
взять дорогого масла 1/4 ведра, а дешевого — 3/4 ведра. (Проверка: 1/4*10+3/4*6=28/4=7 гривен)
Задачи с экологическим содержанием
Задача 32. В 1984 г в нашей стране было 143 заповедника. За последнее 10 лет создано ещё 50 новых заповедников. Сколько заповедников стало в нашей стране?
Задача 33. Из 250 000 видов растений Земли 1/10 часть находится на грани исчезновения. Сколько видов растений на Земле на грани исчезновения?
Задача 34. Липа живёт 200 лет, а дуб – 600 лет. Во сколько раз меньше живёт липа, чем дуб? На сколько лет дуб живёт дольше липы?
Предлагаемые задачи контрольной работы для проверки знаний учащихся в двух вариантах (с ответами).
1 вариант 2 вариант
1.Площадь участка поля 80 га, первый тракторист вспахал 40% этого участка, а второй 60% оставшейся части. Кто из них вспахал больше и на сколько га? 1. Свежие грибы по весу содержат 90% воды, а сухие 12% воды. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих?
2. Кусок сплава меди с оловом массой 15 кг содержит 20% меди.
Сколько частей меди необходимо добавить к этому сплаву, что-
бы новый сплав содержал 40% олова? 2. В сплаве меди и цинка, содержащем меди на 16 кг больше, чем
цинка, добавили 10 кг меди. В результате содержание цинка всплаве понизилось на 6%. Сколько цинка содержится в сплаве.
Масса цинка и меди выражается целым числом
3. Некто купил лошадь и, спустя некоторое время, продал ее за 24 пистоля. При этом он потерял столько %, сколько стоила сама лошадь. Спрашивается: за какую сумму он ее купил? 3. .Один небогатый римлянин взял в долг у заимодавца 50 сестерциев. Заимодавец поставил условие: «Ты вернешь мне в установленный срок 50 сестерциев и еще 20 % от этой суммы». Сколько сестерциев должен отдать небогатый римлянин заимодавцу, возвращая долг?
Таблица ответов
1 вариант 2 вариант
1. 32га 1. 2,5 кг
2. 15 кг. 2. 12 кг
3.60 и 40 пистолей 3. 60 сестерциев
Литература
1. М.Л. Галицкий Сборник задач по алгебре: учебное пособие для 8-9 кл. с углубленным изучением математики – М: Просвещение, 2013г.
2. А.Г. Мордкович и другие. Алгебра 9 класс. 2014г.
3. М.А. Иванов Математика без репетитора. 800 задач с ответами и решениями для абитуриентов Учебное пособие. — М.: Издательский центр <Вентана — Граф>, 2012г.
4. Ю.Н. Макарычев и др. 8 класс. Учебник. М.: 2014

Скачать оригинальный файл

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Adblock detector