Конспект урока алгебры для 11 класса «Исследование функции с помощью производной»

Выездное заседание республиканского клуба «Пеликан»

20 марта 2012 г.

План-конспект урока

Тема «Исследование функции с помощью производной»

11 класс

Цель урока:

— обобщить знания и умения учащихся по теме «Исследование функции с помощью производной»

— формировать навыки самоконтроля, поисковой деятельности

— воспитывать интерес к изучению математики, ценностное отношение к полученным знаниям.

Оборудование: интерактивная доска, презентация PowerPoint, рабочие листы учащихся

Ход урока

1. Организационный момент. Учитель организует детей, сообщает тему и цели урока.

2. Вступительное слово учителя:

Эпиграф:

«Математике должно учиться в школе еще с той целью,

чтобы познания здесь приобретаемые, были достаточными

для обыкновенных потребностей в жизни»

Н.И.Лобачевский

Как и многие разделы математики, дифференциальное исчисление возникло из необходимости решения практических задач. В основном источником дифференциального исчисления явились задачи двух видов: на нахождение наибольших и наименьших значений величин, т.е. задач на нахождение экстремумов, на вычисление скоростей. Задачи на нахождение максимума и минимума встречаются еще в «Началах» Евклида. В 1629 году математик Пьер Ферма, уже владел методом определения максимумов и минимумов. Огромный вклад в развитие теоии дифференциального исчисления внесли И.Ньютон, Г.Лейбниц, братья Бернулли.

Голландский ученый Х.Гюйгенс написал Лопиталю о широте методов дифференциального исчисления: «Я вижу с удивлением и восхищением обширность и плодовитость нового метода. Куда бы ни обратил я взор, я замечаю для него новые приложения, я предвижу его бесконечное развитие и прогресс»

И он не ошибся, теория экстремумов функций и сегодня находит многочисленные практические применения в решении задач производства и экономики, связанных с оптимальным использованием сырья и времени.

3. Актуализация опорных знаний.

В ходе изучения темы «Исследование функций с помощью производной» у вас были сформированы умения находить критические точки функции, производную, определять с ее помощью свойства функции и строить ее график . Сегодня мы посмотрим на эту тему под иным углом зрения: как через график производной функции определить свойства самой функции. Наша задача: научиться ориентироваться в разнообразии заданий, связанных с графиками функций и их производных.

Сначала повторим основные теоретические положения.

Задание 1. Выберите правильный ответ.

Задание 2. Укажите ложные и истинные высказывания.

Устная работа:

1) на рисунке изображены графики функций. Ответьте на вопросы: каким промежуткам монотонности принадлежат указанные точки?

В каких точках производная функции равна 0? не существует? Слайд5

2) Для функции, определенной на множестве R:

Укажите количество критических точек функции

Промежутки монотонности функции

Количество точек экстремума функции

Точки минимума и максимума функции

Слайды 6,7

3) Функция y = f(x) задана на интервале (a;b),
на рисунке изображен график ее производной. Укажите:

Промежутки монотонности функции

Количество точек экстремума функции

Точки минимума и максимума функции

Слайды 6,7,8.

4. Практическая часть. Все вы выпускники, и скоро вам предстоит сдача ЕГЭ по математике. В ходе подготовки к экзамену вы рассмотрели задания по теме «Геометрический смысл производной», «Наибольшее и наименьшее значения функции». Прототипы заданий части В по этим темам вы можете увидеть на сайте «Открытый банк заданий ЕГЭ по математике».

Перед вами рабочий лист с заданиями из Открытого банка задач.

Тип задачи

Решение
1. На рисунке изображен график функции . Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 8. Найдите .
2. На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке .
3. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале (-4; 9). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у= — 6
4. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале (-10;2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у- -2х-2 или совпадает с ней.
5. На рисунке изображен график у= f ‘(х) — производной функции f (x) . Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику y= f(x) параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.
6. Функция определена на интервале (-8; 4). На рисунке изображен график производной функции. Укажите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции имеет наибольший (наименьший) угловой коэффициент.
7. Дана функция Написать равнение касательной к графику функции , проходящей через точку А(2; -5).

А)Задание В14. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Б) Задание В14. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

С) Задание В14. Найдите точку максимума функции

Д) Задание B8.

Прямая у= 2х параллельна касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

Е) Задание В8. Прямая у= — 5х+8 является касательной к графику функции . Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

5. Самостоятельная работа. (Резерв) Выполните задания и ответьте на вопросы.

№1

№2

№3

6. Математический диктант.

На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале

(-6; 6).

Рис.1

1. Сколько точек экстремума имеет функция ? _________

2. Найдите точку минимума функции . ________

3. Найдите длину промежутка убывания функции, округлите длину до целых. _______

4. Точка х= 4 принадлежит промежутку возрастания или убывания функции ? _________________

5. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой  или совпадает с ней. _______

6. Сколько целых точек принадлежит промежуткам возрастания функции ? _________

На рисунке изображен график  функции , определенной на интервале (-5; 5).

Рис.2

7. Найдите количество критических точек функции . ______

8. Найдите количество точек экстремума функции . ________

9. Определите количество целых точек, в которых производная функции  отрицательна. ________

10. В какой точке отрезка [-4; 1]  принимает наименьшее значение? ________

Проверьте себя по ответам.

1. 2

2. 2

3. 7

4. возрастания

5. 4

6. 3

7. 5

8. 4

9. 8

10. 1

Подсчитайте количество баллов, поставьте себе оценку.

Критерии:

9-10 баллов – оценка 5

7-8 баллов – оценка 4

5-6 баллов – оценка 3

0-4 балла – оценка 2.

7. Подведение итогов урока. Мы рассмотрели взаимосвязь монотонности функции и знака ее производной, достаточные условия существования экстремума. Рассмотрели различные задания на чтение графика производной функции, которые встречаются в текстах единого государственного экзамена. Все рассмотренные нами задания хороши тем, что на их выполнение не нужно много времени. Во время единого государственного экзамена это очень важно: быстро и правильно записать ответ. Желаю вам успешной сдачи ЕГЭ.

8. Д.з. изучить прототипы заданий из Открытого банка заданий ЕГЭ по математике на сайте mathege.ru.